(1,0) Prove por absurdo que a soma de dois inteiros pares é par.

Passo 1

O enunciado pede uma prova por absurdo de que a soma de dois inteiros pares é par. Vamos usar o método de prova por contradição: suponhamos o contrário do que queremos mostrar e chegaremos a uma contradição lógica. Precisamos da definição de inteiro par:
\quad Um inteiro n é par se, e somente se, existe k\in\mathbb{Z} tal que
n = 2k.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que a soma de dois inteiros pares não seja par, ou seja, seja ímpar. Sejam a e b dois inteiros pares. Pelas definições, existem k_{1},k_{2}\in\mathbb{Z} tais que
a = 2k_{1},\quad b = 2k_{2}.
E, pela suposição contrária, existiria m\in\mathbb{Z} tal que
a+b = 2m + 1.

Passo 3

Calculemos diretamente a+b usando as expressões de a e b:
a + b \;=\; 2k_{1} + 2k_{2} \;=\; 2\bigl(k_{1} + k_{2}\bigr).

Passo 4

Chegamos então à igualdade
2\bigl(k_{1}+k_{2}\bigr) \;=\; 2m + 1.
O lado esquerdo é um número par (é múltiplo de 2) e o lado direito é um número ímpar. Não há como um número par ser igual a um número ímpar, isso é um absurdo. Logo, nossa suposição inicial (de que a+b fosse ímpar) é falsa.

Resposta

Portanto, por absurdo, concluímos que a soma de dois inteiros pares é par.

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