(\mathbf{1}, \mathbf{0}) Utilizando a lógica de predicados, prove que o seguinte argumento: “Todo embaixador conversa apenas com diplomatas, e alguns embaixadores conversam com alguém. Portanto, existe algum diplomata”. Utilize os seguintes predicados: E(x) : x é um embaixador, C(x, y) : x conversa com y, D(x) : x é diplomata.

Passo 1

O enunciado em linguagem de predicados é:
Premissa 1:
\forall x\bigl(E(x)\to \forall y\,(C(x,y)\to D(y))\bigr)
“Todo embaixador conversa apenas com diplomatas.”
Premissa 2:
\exists x\exists y\bigl(E(x)\wedge C(x,y)\bigr)
“Algum embaixador conversa com alguém.”
Objetivo: mostrar
\exists z\,D(z)
“Existe algum diplomata.”
Para isso vamos usar as regras de eliminação de \exists, eliminação de \forall, modus ponens e introdução de \exists.

Passo 2

Da premissa 2, pelo esquema de eliminação de \exists, escolhemos constantes novas a,b tais que
E(a)\wedge C(a,b).
Assim temos separadamente
1) E(a) 2) C(a,b).

Passo 3

Da premissa 1, aplicando eliminação de \forall em x=a, obtemos
E(a)\to \forall y\,(C(a,y)\to D(y)).
Como já temos E(a) (item 1), por modus ponens chegamos a
\forall y\,(C(a,y)\to D(y)).
Agora aplicamos eliminação de \forall em y=b, concluindo
C(a,b)\to D(b).

Passo 4

Temos C(a,b) (item 2) e C(a,b)\to D(b). Por modus ponens derivamos
D(b).

Passo 5

Finalmente, usando introdução de \exists em D(b), concluímos
\exists z\,D(z),
que é exatamente “existe algum diplomata”.

Resposta

\displaystyle \exists z\,D(z)

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