(2,0) Utilizando indução, prove que 7^{n}-2^{n} é divisível por 5 , para todo inteiro positivo n.

Passo 1

O enunciado pede para usar indução matemática para mostrar que o número
7^{n} - 2^{n}
é divisível por 5 para todo inteiro positivo n. O conteúdo aqui é prova por indução em propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
Calculamos
7^{1} - 2^{1} = 7 - 2 = 5,
e claramente 5 é divisível por 5. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha a hipótese de indução, ou seja,
7^{k} - 2^{k} = 5m
para algum inteiro m. Precisamos mostrar que
7^{k+1} - 2^{k+1}
também é múltiplo de 5. Escrevemos
7^{k+1} - 2^{k+1} = 7\cdot 7^{k} \;-\; 2\cdot 2^{k} = 7\bigl(7^{k}-2^{k}\bigr) \;+\; (7\cdot2^{k}-2\cdot2^{k}) = 7\bigl(7^{k}-2^{k}\bigr) + 5\cdot2^{k}.
Pela hipótese de indução, 7^{k}-2^{k}=5m, então
7\bigl(7^{k}-2^{k}\bigr) + 5\cdot2^{k} = 7\cdot(5m) + 5\cdot2^{k} = 5\bigl(7m + 2^{k}\bigr),
que é claramente divisível por 5. Logo, a propriedade vale para n=k+1.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo inteiro positivo n o número 7^{n}-2^{n} é divisível por 5.

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