Utilizando o método da bisseção, encontre uma raiz da função f(x)=x^3-x-1, com um erro varepsilon <= 0,002. (dados: xi in[1 ; 2] )

Passo 1

Então você tem a função
f(x) = x^3 - x - 1
e quer achar uma raiz dela em usando o método da bisseção, garantindo erro .
Isso é conteúdo de Métodos Numéricos – especificamente Bisseção.
O que vamos precisar:
  • Entender como o método garante convergência (sinais opostos em extremidades).
  • Calcular quantas iterações “n” são necessárias para ter erro abaixo de 0,002.
  • Executar essas iterações, atualizando o intervalo com base no valor de nos pontos médios.

Passo 2

Teoria por trás do método da bisseção:
  1. Se c = a + b2 e erro <= b - a2^n têm sinais opostos, existe ao menos uma raiz em .
  2. A cada iteração, definimos o ponto médio e avaliamos .
  3. Escolhemos o subintervalo onde ocorre a troca de sinal:
    • Se , a raiz está em .
    • Se , a raiz está em .
  4. O tamanho do intervalo vai se reduzindo em a cada passo, e a estimativa de erro após iterações é

Passo 3

Determinar quantas iterações 12^n <= 0,002 Longrightarrow 2^n >= 10,002 = 500 Longrightarrow n >= log2(500) approx 8,97 precisamos para .
Aqui , então:
Como tem que ser inteiro, pegamos iterações.

Passo 4

Vamos rodar os 9 passos, sempre anotando b-a = 1,326171875 - 1,32421875 = 0,001953125 <= 0,002, :
  1. i=1:
    , .
    Como , nova faixa = .
  2. i=2:
    , .
    Troca de sinal com .
  3. i=3:
    , .
    Raiz em .
  4. i=4:
    , .
    .
  5. i=5:
    , .
    .
  6. i=6:
    , .
    .
  7. i=7:
    , .
    .
  8. i=8:
    , .
    .
  9. i=9:
    , .
    .
No final dessa 9ª iteração, o comprimento do intervalo é
logo o erro está dentro do que a gente quer.

Resposta

Aproximação da raiz após 9 iterações:
x approx 1,32617,
com erro máximo .

Exercícios relacionados