Quais valores de x, o método de Newton falha na obtençào das raizes da função f(x)=x^{3}-3 x^{2}. O que esses pontos representam no gráfico da função. (2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Identificar para quais valores de x o método de Newton falha ao tentar obter as raízes da função f(x)=x^{3}-3 x^{2}.
  • Dizer o que esses pontos representam no gráfico da função.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-3 x^{2}.

Passo 2

Lembrete rápido (o que é o método de Newton e quando ele “falha”):
  • O método de Newton para achar uma raiz usa a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • A operação acima fica indefinida se f'(x_n)=0, porque aí haveria divisão por zero. Portanto, pontos onde f'(x)=0 são pontos perigosos: se a iteração atinge exatamente um desses pontos, a fórmula não funciona (falha). Além disso, pontos onde a derivada é zero próximos a uma raiz múltipla podem tornar a convergência lenta ou problemática.

Passo 3

Calcular a derivada de f. Vamos derivar passo a passo:
f(x)=x^{3}-3x^{2}.
Aplicando a regra de potência termoa termo:
f'(x)=3x^{2}-6x.
Fatorando:
f'(x)=3x(x-2).

Passo 4

Encontrar onde f'(x)=0. Igualando a zero:
3x(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Agora verificar o que acontece nesses pontos na fórmula de Newton:
  • Em x=0: f(0)=0 e f'(0)=0. Então a atualização x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} é indefinida se x_n=0 (divisão por zero).
  • Em x=2: f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}=8-12=-4 e f'(2)=0. Novamente a atualização é indefinida se x_n=2 (divisão por zero), embora x=2 não seja raiz.
Portanto, o método de Newton falha (fica indefinido) quando a iteração chega exatamente a x=0 ou x=2.

Passo 5

Interpretação geométrica desses pontos no gráfico de f:
  • Fatorando f obtém-se
f(x)=x^{2}(x-3).
Logo há raízes em x=0 (multiplicidade 2) e em x=3 (multiplicidade 1).
  • O ponto x=0:
    • É uma raiz de multiplicidade 2. Geometricamente isso significa que a curva toca o eixo x em x=0 e tem tangente horizontal ali (não cruza o eixo; ela “encosta” e volta para o mesmo lado).
    • Classificação pelo sinal da segunda derivada: f''(x)=6x-6, então f''(0)=-6<0, portanto x=0 é um ponto crítico que corresponde a um máximo local (no caso é também a raiz dupla).
  • O ponto x=2:
    • Não é raiz (pois f(2)=-4), mas é um ponto crítico porque f'(2)=0.
    • Como f''(2)=6>0, x=2 é um mínimo local (a tangente aí é horizontal e a curva tem um vale em x=2, abaixo do eixo x).
Resumo geométrico curto: x=0 e x=2 são pontos onde a tangente à curva é horizontal (derivada zero); x=0 é uma raiz dupla onde a curva toca o eixo x, e x=2 é um mínimo local abaixo do eixo.

Passo 6

Observações práticas para a prova (dicas amigas):
  • Se ao aplicar Newton você obtiver exatamente x_n=0 ou x_n=2, a iteração não pode continuar (divisão por zero).
  • Mesmo se começar muito próximo de x=0, a convergência para a raiz x=0 pode ser lenta por causa da multiplicidade 2 (a convergência deixa de ser quadrática e fica apenas linear). Portanto, em provas, sempre verifique pontos onde f'(x)=0 antes de aplicar Newton.
  • Se precisar, explique no raciocínio que a falha ocorre por f'(x)=0 e relacione com a tangente horizontal no gráfico — isso mostra entendimento geométrico e algébrico.

Resposta

x=0 e x=2.
x=0: raiz de multiplicidade 2 onde a curva toca o eixo x com tangente horizontal (máximo local).
x=2: ponto crítico (mínimo local) onde a tangente é horizontal (não é raiz).

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