Quais valores de
, o método de Newton falha na obtençào das raizes da função
. O que esses pontos representam no gráfico da função. (2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Identificar para quais valores de
o método de Newton falha ao tentar obter as raízes da função . - Dizer o que esses pontos representam no gráfico da função.
Informações dadas:
- A função é
.
Passo 2
Lembrete rápido (o que é o método de Newton e quando ele “falha”):
- O método de Newton para achar uma raiz usa a iteração
- A operação acima fica indefinida se
, porque aí haveria divisão por zero. Portanto, pontos onde são pontos perigosos: se a iteração atinge exatamente um desses pontos, a fórmula não funciona (falha). Além disso, pontos onde a derivada é zero próximos a uma raiz múltipla podem tornar a convergência lenta ou problemática.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Vamos derivar passo a passo:
Aplicando a regra de potência termoa termo:
Fatorando:
Passo 4
Encontrar onde
. Igualando a zero:
Agora verificar o que acontece nesses pontos na fórmula de Newton:
- Em
: e . Então a atualização é indefinida se (divisão por zero). - Em
: e . Novamente a atualização é indefinida se (divisão por zero), embora não seja raiz.
Portanto, o método de Newton falha (fica indefinido) quando a iteração chega exatamente a
ou
.
Passo 5
Interpretação geométrica desses pontos no gráfico de
:
- Fatorando
obtém-se
Logo há raízes em
(multiplicidade
) e em
(multiplicidade
).
- O ponto
: - É uma raiz de multiplicidade
. Geometricamente isso significa que a curva toca o eixo em e tem tangente horizontal ali (não cruza o eixo; ela “encosta” e volta para o mesmo lado). - Classificação pelo sinal da segunda derivada:
, então , portanto é um ponto crítico que corresponde a um máximo local (no caso é também a raiz dupla).
- É uma raiz de multiplicidade
- O ponto
: - Não é raiz (pois
), mas é um ponto crítico porque . - Como
, é um mínimo local (a tangente aí é horizontal e a curva tem um vale em , abaixo do eixo ).
- Não é raiz (pois
Resumo geométrico curto:
e
são pontos onde a tangente à curva é horizontal (derivada zero);
é uma raiz dupla onde a curva toca o eixo
, e
é um mínimo local abaixo do eixo.
Passo 6
Observações práticas para a prova (dicas amigas):
- Se ao aplicar Newton você obtiver exatamente
ou , a iteração não pode continuar (divisão por zero). - Mesmo se começar muito próximo de
, a convergência para a raiz pode ser lenta por causa da multiplicidade (a convergência deixa de ser quadrática e fica apenas linear). Portanto, em provas, sempre verifique pontos onde antes de aplicar Newton. - Se precisar, explique no raciocínio que a falha ocorre por
e relacione com a tangente horizontal no gráfico — isso mostra entendimento geométrico e algébrico.