Verifique a convergência dos Métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel para os seguintes sistemas, utilizando o critério das linhas e de Sassenfeld: \left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -0,2 & 0,2 \\\\ 0,6 & 3 & -0,6 & -0,3 \\\\ -0,1 & -0,2 & 1 & 0,2 \\\\ 0,4 & 1,2 & 0,8 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0,4 \\\\ -7,8 \\\\ 1,0 \\\\ -10,0\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel para o sistema dado, usando (i) o critério das linhas (dominância diagonal por linhas) e (ii) o critério de Sassenfeld.
Dados do enunciado (peguei os coeficientes diretamente do sistema dado):
O critério das linhas (dominância diagonal por linhas) é satisfeito? Se sim, o que isso implica sobre a convergência de Jacobi e Gauss–Seidel?
O critério de Sassenfeld é satisfeito? Se sim, o que isso implica sobre a convergência de Gauss–Seidel (e, por consequência, sobre Jacobi)?]
Passo 2
Explicação do critério das linhas (dominância diagonal por linhas) — a teoria que você precisa entender:
Definição: uma matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonal dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
O que isto significa na prática: o elemento diagonal de cada linha é maior, em valor absoluto, que a soma dos demais elementos absolutos da mesma linha. Resultado útil (teorema): se A é estritamente diagonal dominante por linhas então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução do sistema para qualquer chute inicial. Intuição rápida: a “força” do termo diagonal é suficiente para controlar a iteração e garantir decaimento dos erros.
Passo 3
Aplicando o critério das linhas linha a linha (vou calcular a soma dos módulos dos elementos não diagonais e comparar com o módulo do diagonal em cada linha):
Como 4>2,4, a linha 4 é estritamente diagonal dominante.
Passo 4
Conclusão do critério das linhas: todas as quatro linhas satisfazem a desigualdade de dominância diagonal estrita. Portanto, pela propriedade citada, podemos concluir que ambos os métodos — Jacobi e Gauss–Seidel — convergem para a solução do sistema para qualquer chute inicial. (Resumo: dominância diagonal por linhas assegura convergência de Jacobi e Gauss–Seidel.)
Passo 5
Explicação do critério de Sassenfeld — a teoria que você precisa entender:
Fórmula (procedimento): define-se uma sequência \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n pela regra
Interpretação: usa-se valores \beta_j já calculados para linhas anteriores e os módulos dos coeficientes das colunas posteriores. Critério: se \max_i\beta_i<1 então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial. É um critério simples e prático para verificar convergência de Gauss–Seidel (não precisa calcular autovalores).
Passo 6
Cálculo passo a passo das \beta_i (pegando novamente os coeficientes de A):
Como 0,7<1, o critério de Sassenfeld é satisfeito.
Passo 7
Conclusões finais a partir dos dois critérios (síntese didática e motivacional):
Pelo critério das linhas verificamos que A é estritamente diagonal dominante por linhas. Isso já garante a convergência de ambos os métodos: Jacobi e Gauss–Seidel.
Pelo critério de Sassenfeld obtivemos \max\beta_i=0,7<1, o que confirma (de outra forma) que o método de Gauss–Seidel converge.
Portanto, temos duas confirmações consistentes: Gauss–Seidel converge (Sassenfeld) e, por dominância diagonal, tanto Gauss–Seidel quanto Jacobi convergem. Força aí! Com esse tipo de verificação você já pode, na prova, justificar rapidamente a convergência sem calcular autovalores — faça as somas das linhas e/ou os betas de Sassenfeld e pronto.