Verifique a convergência dos Métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel para os seguintes sistemas, utilizando o critério das linhas e de Sassenfeld:
\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -0,2 & 0,2 \\\\ 0,6 & 3 & -0,6 & -0,3 \\\\ -0,1 & -0,2 & 1 & 0,2 \\\\ 0,4 & 1,2 & 0,8 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0,4 \\\\ -7,8 \\\\ 1,0 \\\\ -10,0\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel para o sistema dado, usando (i) o critério das linhas (dominância diagonal por linhas) e (ii) o critério de Sassenfeld.
Dados do enunciado (peguei os coeficientes diretamente do sistema dado):
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -0,2 & 0,2\\[4pt] 0,6 & 3 & -0,6 & -0,3\\[4pt] -0,1 & -0,2 & 1 & 0,2\\[4pt] 0,4 & 1,2 & 0,8 & 4 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}0,4\\[4pt]-7,8\\[4pt]1,0\\[4pt]-10,0\end{pmatrix}.
Perguntas explícitas (o que vamos responder):
  • O critério das linhas (dominância diagonal por linhas) é satisfeito? Se sim, o que isso implica sobre a convergência de Jacobi e Gauss–Seidel?
  • O critério de Sassenfeld é satisfeito? Se sim, o que isso implica sobre a convergência de Gauss–Seidel (e, por consequência, sobre Jacobi)?]

Passo 2

Explicação do critério das linhas (dominância diagonal por linhas) — a teoria que você precisa entender:
Definição: uma matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonal dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
O que isto significa na prática: o elemento diagonal de cada linha é maior, em valor absoluto, que a soma dos demais elementos absolutos da mesma linha. Resultado útil (teorema): se A é estritamente diagonal dominante por linhas então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução do sistema para qualquer chute inicial. Intuição rápida: a “força” do termo diagonal é suficiente para controlar a iteração e garantir decaimento dos erros.

Passo 3

Aplicando o critério das linhas linha a linha (vou calcular a soma dos módulos dos elementos não diagonais e comparar com o módulo do diagonal em cada linha):
Linha 1:
|a_{11}|=|2|=2, \qquad \sum_{j\neq 1}|a_{1j}|=|1|+|{-0,2}|+|0,2|=1+0,2+0,2=1,4.
Como 2>1,4, a linha 1 é estritamente diagonal dominante.
Linha 2:
|a_{22}|=|3|=3, \qquad \sum_{j\neq 2}|a_{2j}|=|0,6|+|{-0,6}|+|{-0,3}|=0,6+0,6+0,3=1,5.
Como 3>1,5, a linha 2 é estritamente diagonal dominante.
Linha 3:
|a_{33}|=|1|=1, \qquad \sum_{j\neq 3}|a_{3j}|=|{-0,1}|+|{-0,2}|+|0,2|=0,1+0,2+0,2=0,5.
Como 1>0,5, a linha 3 é estritamente diagonal dominante.
Linha 4:
|a_{44}|=|4|=4, \qquad \sum_{j\neq 4}|a_{4j}|=|0,4|+|1,2|+|0,8|=0,4+1,2+0,8=2,4.
Como 4>2,4, a linha 4 é estritamente diagonal dominante.

Passo 4

Conclusão do critério das linhas: todas as quatro linhas satisfazem a desigualdade de dominância diagonal estrita. Portanto, pela propriedade citada, podemos concluir que ambos os métodos — Jacobi e Gauss–Seidel — convergem para a solução do sistema para qualquer chute inicial. (Resumo: dominância diagonal por linhas assegura convergência de Jacobi e Gauss–Seidel.)

Passo 5

Explicação do critério de Sassenfeld — a teoria que você precisa entender:
Fórmula (procedimento): define-se uma sequência \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n pela regra
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\right), \qquad i=1,2,\dots,n.
Interpretação: usa-se valores \beta_j já calculados para linhas anteriores e os módulos dos coeficientes das colunas posteriores. Critério: se \max_i\beta_i<1 então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial. É um critério simples e prático para verificar convergência de Gauss–Seidel (não precisa calcular autovalores).

Passo 6

Cálculo passo a passo das \beta_i (pegando novamente os coeficientes de A):
Para i=1:
\beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|+|a_{14}|}{|a_{11}|}=\frac{1+0,2+0,2}{2}=\frac{1,4}{2}=0,7.
Para i=2:
\beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|+|a_{24}|}{|a_{22}|} =\frac{0,6\cdot 0,7 + 0,6 + 0,3}{3} =\frac{0,42 + 0,6 + 0,3}{3} =\frac{1,32}{3}=0,44.
Para i=3:
\beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2+|a_{34}|}{|a_{33}|} =\frac{0,1\cdot 0,7 + 0,2\cdot 0,44 + 0,2}{1} =0,07 + 0,088 + 0,2=0,358.
Para i=4:
\beta_4=\frac{|a_{41}|\beta_1+|a_{42}|\beta_2+|a_{43}|\beta_3}{|a_{44}|} =\frac{0,4\cdot 0,7 + 1,2\cdot 0,44 + 0,8\cdot 0,358}{4} =\frac{0,28 + 0,528 + 0,2864}{4} =\frac{1,0944}{4}=0,2736.
Agora o máximo:
\max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4\}=\max\{0,7;0,44;0,358;0,2736\}=0,7.
Como 0,7<1, o critério de Sassenfeld é satisfeito.

Passo 7

Conclusões finais a partir dos dois critérios (síntese didática e motivacional):
  • Pelo critério das linhas verificamos que A é estritamente diagonal dominante por linhas. Isso já garante a convergência de ambos os métodos: Jacobi e Gauss–Seidel.
  • Pelo critério de Sassenfeld obtivemos \max\beta_i=0,7<1, o que confirma (de outra forma) que o método de Gauss–Seidel converge.
Portanto, temos duas confirmações consistentes: Gauss–Seidel converge (Sassenfeld) e, por dominância diagonal, tanto Gauss–Seidel quanto Jacobi convergem. Força aí! Com esse tipo de verificação você já pode, na prova, justificar rapidamente a convergência sem calcular autovalores — faça as somas das linhas e/ou os betas de Sassenfeld e pronto.

Resposta

Jacobi: converge.
Gauss–Seidel: converge.

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