Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=cos (x)+ln (x)+x no intervalo [0.1, 0.5].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, a gente tem que usar o método da bisseção pra achar uma raiz de
f(x)=cos(x)+ln(x)+x
no intervalo . Isso cai em Métodos Numéricos, mais precisamente em Raiz de Equações não‐lineares, e para resolver vamos precisar de:
• verificar que e têm sinais opostos (então tem raiz no intervalo),
• usar a fórmula do ponto médio e decidir qual metade do intervalo conserva a mudança de sinal,
• calcular o número mínimo de iterações pra chegar em uma tolerância ,
• e finalmente fazer 5 iterações com arredondamento a 4 casas decimais.

Passo 2

O método da bisseção funciona assim: a cada iteração a gente pega o ponto médio
c=a+b2
e calcula b-a2^n. Como é contínua, se a raiz está em ; senão, está em . A cada iteração o erro máximo diminui de
para .

Passo 3

Pra garantir erro b-a2^n<=10^-3 Longrightarrow 0.5-0.12^n<=10^-3 Longrightarrow 0.42^n<=10^-3 , basta achar 2^n>=0.410^-3=400 Longrightarrow n>=log2(400)approx8,64 tal que
Ou seja, precisamos de 9 iterações pra garantir a tolerância .

Passo 4

Agora vamos às iterações (arredondamento padrão a 4 casas decimais):
Iteração 1:
a=0.1000, b=0.5000


Como e , nova janela: .

Passo 5

Iteração 2:
a=0.1000, b=0.3000


Sinal trocou em .

Passo 6

Iteração 3:
a=0.2000, b=0.3000


Raiz em .

Passo 7

Iteração 4:
a=0.2500, b=0.3000


Raiz em .

Passo 8

Iteração 5:
a=0.2750, b=0.3000


Raiz em .

Resposta

a) São necessárias 9 iterações para erro .
b) Após 5 iterações, o ponto médio é , com e intervalo final .

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