Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=2 sen(raizx)-x no intervalo [1.5, 3].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza! A questão é da matéria de Métodos Numéricos, mais precisamente o Método da Bisseção. A gente tem a função
e o intervalo inicial f(x) = 2senl(raizxr) - x .
O que precisamos:
  • Saber quantas iterações (n) garantem uma tolerância de .
  • Executar de fato o método por 5 iterações, arredondando tudo para 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula pra estimar o número de iterações necessárias no método da bisseção, dada uma tolerância n >= log!l(tfracb-avarepsilonr)log(2) :

Passo 3

Substituindo n >= log!l(tfrac3 - 1.510^-3r)log(2) = log(1500)log(2) approx 7.31320.6931 approx 10.55 , n = 11 e :
Como n tem que ser inteiro, fazemos o teto:

Passo 4

Agora, mãos à obra: cinco iterações de bisseção. A cada passo vamos calcular
c = a + b2,
avaliar e e ver onde muda de sinal. Lembra de arredondar todos os valores pra 4 casas decimais só no final de cada operação.
Iteração 1:
a = 1.5000, b = 3.0000
c = (1.5 + 3)/2 = 2.2500


Mudou de sinal (+ em a, – em c) ⇒ novo intervalo = [1.5000, 2.2500].

Passo 5

Iteração 2:
a = 1.5000, b = 2.2500
c = (1.5 + 2.25)/2 = 1.8750

Como e , o sinal muda em [c,b] ⇒ novo intervalo = [1.8750, 2.2500].

Passo 6

Iteração 3:
a = 1.8750, b = 2.2500
c = (1.875 + 2.25)/2 = 2.0625

Mudou de sinal em [a,c] ⇒ novo intervalo = [1.8750, 2.0625].

Passo 7

Iteração 4:
a = 1.8750, b = 2.0625
c = (1.875 + 2.0625)/2 = 1.9688

Sinal em a e em c é positivo, em b é negativo ⇒ intervalo = [1.9688, 2.0625].

Passo 8

Iteração 5:
a = 1.9688, b = 2.0625
c = (1.9688 + 2.0625)/2 = 2.0156

Agora e , então o intervalo final após 5 iterações é [1.9688, 2.0156].

Resposta

a) Para tolerância de precisamos de 11 iterações.
b) Após 5 iterações, o ponto médio é (arredondado a 4 casas decimais).

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