Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função,
no intervalo [1.5, 3].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza! A questão é da matéria de Métodos Numéricos, mais precisamente o Método da Bisseção. A gente tem a função
e o intervalo inicial
.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Saber quantas iterações (n) garantem uma tolerância de
. - Executar de fato o método por 5 iterações, arredondando tudo para 4 casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula pra estimar o número de iterações necessárias no método da bisseção, dada uma tolerância
:
Passo 3
Substituindo
,
e
:
Como n tem que ser inteiro, fazemos o teto:
Passo 4
Agora, mãos à obra: cinco iterações de bisseção. A cada passo vamos calcular
avaliar
e
e ver onde muda de sinal. Lembra de arredondar todos os valores pra 4 casas decimais só no final de cada operação.
Iteração 1:
a = 1.5000, b = 3.0000
c = (1.5 + 3)/2 = 2.2500
Mudou de sinal (+ em a, – em c) ⇒ novo intervalo = [1.5000, 2.2500].
a = 1.5000, b = 3.0000
c = (1.5 + 3)/2 = 2.2500
Mudou de sinal (+ em a, – em c) ⇒ novo intervalo = [1.5000, 2.2500].
Passo 5
Iteração 2:
a = 1.5000, b = 2.2500
c = (1.5 + 2.25)/2 = 1.8750
Como e
, o sinal muda em [c,b] ⇒ novo intervalo = [1.8750, 2.2500].
a = 1.5000, b = 2.2500
c = (1.5 + 2.25)/2 = 1.8750
Como
Passo 6
Iteração 3:
a = 1.8750, b = 2.2500
c = (1.875 + 2.25)/2 = 2.0625
Mudou de sinal em [a,c] ⇒ novo intervalo = [1.8750, 2.0625].
a = 1.8750, b = 2.2500
c = (1.875 + 2.25)/2 = 2.0625
Mudou de sinal em [a,c] ⇒ novo intervalo = [1.8750, 2.0625].
Passo 7
Iteração 4:
a = 1.8750, b = 2.0625
c = (1.875 + 2.0625)/2 = 1.9688
Sinal em a e em c é positivo, em b é negativo ⇒ intervalo = [1.9688, 2.0625].
a = 1.8750, b = 2.0625
c = (1.875 + 2.0625)/2 = 1.9688
Sinal em a e em c é positivo, em b é negativo ⇒ intervalo = [1.9688, 2.0625].
Passo 8
Iteração 5:
a = 1.9688, b = 2.0625
c = (1.9688 + 2.0625)/2 = 2.0156
Agora e
, então o intervalo final após 5 iterações é [1.9688, 2.0156].
a = 1.9688, b = 2.0625
c = (1.9688 + 2.0625)/2 = 2.0156
Agora
Resposta
a) Para tolerância de
precisamos de 11 iterações.
b) Após 5 iterações, o ponto médio é (arredondado a 4 casas decimais).
b) Após 5 iterações, o ponto médio é