Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função,
no intervalo
.
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
Passo 1
Opa, dá um confere no que foi pedido:
- Queremos achar uma raiz de f(x)=
no intervalo [1,2] usando o método da bisseção. - Parte (a): descobrir quantas iterações precisamos para garantir erro ≤
. - Parte (b): rodar o método até 5 iterações, usando arredondamento normal em 4 casas decimais.
Pra isso a gente vai precisar entender:
- O teorema que garante a raiz (Bolzano/Valor Intermediário) e como o método da bisseção aproveita isso.
- A fórmula do número de iterações que garante certa precisão.
- O passo a passo de atualização do intervalo em cada iteração.
Passo 2
Primeiro, o método da bisseção:
- Começamos com um intervalo
onde e têm sinais opostos. Aí sabemos que existe pelo menos uma raiz em . - Calculamos o ponto médio
- Avaliamos
. Se , achamos a raiz. Se não, olhamos o sinal de : - Se for <0, a raiz está em
. - Se for >0, a raiz está em
.
Repetimos isso até o intervalo ficar pequeno o bastante.
- Se for <0, a raiz está em
O tamanho do intervalo cai pela metade a cada iteração, então depois de
iterações ele vale
. Para garantir erro máximo ≤
, basta exigir
Passo 3
Vamos usar
,
. Então:
Como
tem que ser inteiro, precisamos de 10 iterações para garantir tolerância de
.
Passo 4
Agora vamos de fato fazer 5 iterações, com 4 casas decimais em tudo:
Dados iniciais:
a₀ = 1.0000, f(a₀) = –1.0000
b₀ = 2.0000, f(b₀) = +5.0000
a₀ = 1.0000, f(a₀) = –1.0000
b₀ = 2.0000, f(b₀) = +5.0000
Iteração 1
m₁ = (1.0000 + 2.0000)/2 = 1.5000
f(m₁) = 1.5000³ – 1.5000 – 1 = 3.3750 – 2.5000 = 0.8750
Sinal de f(a₀)*f(m₁) = (–1.0000)*(+0.8750) < 0 → nova base = [1.0000, 1.5000]
m₁ = (1.0000 + 2.0000)/2 = 1.5000
f(m₁) = 1.5000³ – 1.5000 – 1 = 3.3750 – 2.5000 = 0.8750
Sinal de f(a₀)*f(m₁) = (–1.0000)*(+0.8750) < 0 → nova base = [1.0000, 1.5000]
Iteração 2
a₁ = 1.0000, b₁ = 1.5000
m₂ = (1.0000 + 1.5000)/2 = 1.2500
f(m₂) = 1.2500³ – 1.2500 – 1 = 1.9531 – 2.2500 = –0.2969
Sinal (–1.0000)*(–0.2969) > 0 → nova base = [1.2500, 1.5000]
a₁ = 1.0000, b₁ = 1.5000
m₂ = (1.0000 + 1.5000)/2 = 1.2500
f(m₂) = 1.2500³ – 1.2500 – 1 = 1.9531 – 2.2500 = –0.2969
Sinal (–1.0000)*(–0.2969) > 0 → nova base = [1.2500, 1.5000]
Iteração 3
a₂ = 1.2500, b₂ = 1.5000
m₃ = 1.3750
f(m₃) = 1.3750³ – 1.3750 – 1 = 2.5957 – 2.3750 = 0.2207
Sinal (–0.2969)*(+0.2207) < 0 → nova base = [1.2500, 1.3750]
a₂ = 1.2500, b₂ = 1.5000
m₃ = 1.3750
f(m₃) = 1.3750³ – 1.3750 – 1 = 2.5957 – 2.3750 = 0.2207
Sinal (–0.2969)*(+0.2207) < 0 → nova base = [1.2500, 1.3750]
Iteração 4
a₃ = 1.2500, b₃ = 1.3750
m₄ = 1.3125
f(m₄) = 1.3125³ – 1.3125 – 1 = 2.2595 – 2.3125 = –0.0530
Sinal (–0.2969)*(–0.0530) > 0 → nova base = [1.3125, 1.3750]
a₃ = 1.2500, b₃ = 1.3750
m₄ = 1.3125
f(m₄) = 1.3125³ – 1.3125 – 1 = 2.2595 – 2.3125 = –0.0530
Sinal (–0.2969)*(–0.0530) > 0 → nova base = [1.3125, 1.3750]
Iteração 5
a₄ = 1.3125, b₄ = 1.3750
m₅ = 1.34375 → arredondando: 1.3438
f(m₅) = 1.3438³ – 1.3438 – 1 ≈ 2.4251 – 2.3438 = 0.0814
Sinal (–0.0530)*(+0.0814) < 0 → nova base final = [1.3125, 1.3438]
a₄ = 1.3125, b₄ = 1.3750
m₅ = 1.34375 → arredondando: 1.3438
f(m₅) = 1.3438³ – 1.3438 – 1 ≈ 2.4251 – 2.3438 = 0.0814
Sinal (–0.0530)*(+0.0814) < 0 → nova base final = [1.3125, 1.3438]
Depois de 5 iterações, nossa aproximação para a raiz é m₅ ≈ 1.3438.
Resposta
(a) Número de iterações para tolerância
: 10
(b) Após 5 iterações, raiz aproximada: 1.3438
(b) Após 5 iterações, raiz aproximada: 1.3438