Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz da função, f(x)= 5 log (x)-2+0.4 x, no intervalo [1,3].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método da bisseção em
f(x)=5log(x)-2+0.4x
no intervalo . Isso faz parte de Métodos Numéricos: a ideia é achar uma raiz de uma função contínua sabendo que e têm sinais opostos.
O que vamos precisar:
  1. Entender o critério da bisseção (sinal de e ).
  2. A fórmula que dá o número mínimo de iterações pra atingir uma tolerância.
  3. Saber avaliar (aqui natural) e arredondar a 4 casas decimais.

Passo 2

Antes de executar, calculamos quantas iterações são necessárias para tolerância b-a2^n<=varepsilonLongrightarrow n>=logl((b-a)/varepsilonr)log2.
Na bisseção, após n>=logl((3-1)/10^-3r)log2 =log(2000)log2 approx7.60090.6931approx10.97 passos a largura do intervalo é
boxedn=11 iterações
Aqui , , então
Como tem que ser inteiro, arredondamos pra cima:
çõ

Passo 3

Agora vamos ver as primeiras 5 iterações. Primeiro avaliamos
f(1)=5ln(1)-2+0.4cdot1=-1.6<0, f(3)=5ln(3)-2+0.4cdot3approx4.6931>0
Como sinais opostos, tem raiz em a1=1.0000,;b1=3.0000,;c1=1+32=2.0000.
Iteração 1:
f(c1)=5ln(2)-2+0.4cdot2approx2.2657>0
Como e , o novo intervalo é .

Passo 4

Iteração 2:
a2=1.0000,;b2=2.0000,;c2=tfrac1+22=1.5000
f(c2)=5ln(1.5)-2+0.4cdot1.5approx0.6273>0
Novo intervalo: .

Passo 5

Iteração 3:
a3=1.0000,;b3=1.5000,;c3=tfrac1+1.52=1.2500
f(c3)=5ln(1.25)-2+0.4cdot1.25approx-0.3843<0
Novo intervalo: .

Passo 6

Iteração 4:
a4=1.2500,;b4=1.5000,;c4=tfrac1.25+1.52=1.3750
f(c4)=5ln(1.375)-2+0.4cdot1.375approx0.1423>0
Novo intervalo: .

Passo 7

Iteração 5:
a5=1.2500,;b5=1.3750,;c5=tfrac1.25+1.3752=1.3125
f(c5)=5ln(1.3125)-2+0.4cdot1.3125approx-0.1123<0
Novo intervalo final (após 5 iterações): .

Resposta

a) Para c1=2.0000,;c2=1.5000,;c3=1.2500,;c4=1.3750,;c5=1.3125, são necessárias iterações.
b) Nas primeiras 5 iterações, os pontos médios (com 4 casas) foram
e o intervalo ficou .

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