Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função,
no intervalo
.
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
。
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usar o método da bisseção pra achar uma raiz da função
no intervalo
a) Determinar quantas iterações precisamos pra atingir tolerância
b) Executar de fato 5 iterações, arredondando tudo com 4 casas decimais.
Conteúdo envolvido: método da bisseção (parte de Métodos Numéricos), cálculo de número de iterações via logaritmo e iterações com checagem de sinais. Vamos precisar também saber como calcular , produto de sinais e a fórmula básica da bisseção.
Passo 2
Item (a): quantas iterações
para
?
No método da bisseção, o erro máximo após iterações é
No método da bisseção, o erro máximo após
Então basta resolver
Aqui
,
,
. Logo
Como
tem que ser inteiro, precisamos de 11 iterações.
Passo 3
Antes de partir pras 5 iterações, lembra como o método funciona:
- Começamos com
, e sabemos que . - Em cada iteração
, calculamos o ponto médio avaliamos e checamos o sinal de . - Se esse produto for negativo, a raiz está em
; senão, está em . - Atualizamos o intervalo e repetimos.
Vamos anotar tudo arredondado com 4 casas decimais.
Iteração 1:
,
(4 decimais)
Como e
, o produto é positivo → raiz fica em
.
Logo ,
.
(4 decimais)
Como
Logo
Passo 4
Iteração 2:
Produto → raiz em
.
Então ,
.
Produto
Então
Passo 5
Iteração 3:
Produto → raiz em
.
Então ,
.
Produto
Então
Passo 6
Iteração 4:
Produto → raiz em
.
Então ,
.
Produto
Então
Passo 7
Iteração 5:
Produto → raiz em
.
Então ,
.
Produto
Então
Resposta
a) Para
precisa de 11 iterações.
b) Depois de 5 iterações o intervalo é e a raiz aproximada (ponto médio) é
b) Depois de 5 iterações o intervalo é