Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=x-sen(x^2)-1 no intervalo [0,2].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método da bisseção pra achar uma raiz da função

no intervalo f(x)=x-senl(x^2r)-1. São dois itens:
a) Determinar quantas iterações precisamos pra atingir tolerância .
b) Executar de fato 5 iterações, arredondando tudo com 4 casas decimais.
Conteúdo envolvido: método da bisseção (parte de Métodos Numéricos), cálculo de número de iterações via logaritmo e iterações com checagem de sinais. Vamos precisar também saber como calcular , produto de sinais e a fórmula básica da bisseção.

Passo 2

Item (a): quantas iterações b-a2^n<=varepsilon para 2^n>=b-avarepsilon Longrightarrow n>=log2!l(tfracb-avarepsilonr) ?
No método da bisseção, o erro máximo após n>=log2!l(tfrac2-010^-3r) =log2(2000) approx 10,97 iterações é
Então basta resolver
Aqui , , . Logo
Como tem que ser inteiro, precisamos de 11 iterações.

Passo 3

Antes de partir pras 5 iterações, lembra como o método funciona:
  1. Começamos com mk=ak-1+bk-12, , e sabemos que .
  2. Em cada iteração , calculamos o ponto médio avaliamos e checamos o sinal de .
  3. Se esse produto for negativo, a raiz está em ; senão, está em .
  4. Atualizamos o intervalo e repetimos.
Vamos anotar tudo arredondado com 4 casas decimais.
Iteração 1:
,

(4 decimais)
Como e , o produto é positivo → raiz fica em .
Logo , .

Passo 4

Iteração 2:


Produto → raiz em .
Então , .

Passo 5

Iteração 3:


Produto → raiz em .
Então , .

Passo 6

Iteração 4:


Produto → raiz em .
Então , .

Passo 7

Iteração 5:


Produto → raiz em .
Então , .

Resposta

a) Para m5 = 1,5625 precisa de 11 iterações.
b) Depois de 5 iterações o intervalo é e a raiz aproximada (ponto médio) é

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