Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=x+ln (x) no intervalo [0.2, 2].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção em
n >= log!l((b-a)/varepsilonr)log(2)
no intervalo .
Conteúdo: método numérico – bisseção.
Vamos precisar de:
  1. Garantir que .
  2. A fórmula do número mínimo de iterações
  1. Repetir a bisseção calculando o ponto médio, checando o sinal de e atualizando o intervalo.

Passo 2

Fórmula para iterações:
n >= log!l((b-a)/varepsilonr)log(2) = log!l((2-0.2)/10^-3r)log(2) = log(1800)log(2)approx10,81
Então precisamos de iterações para .

Passo 3

1ª iteração (arredondar a 4 casas decimais):
a₀=0,2000, b₀=2,0000

(>0)
Como e , novo intervalo .

Passo 4

2ª iteração:
a₁=0,2000, b₁=1,1000

(>0)
Como , intervalo vira .

Passo 5

3ª iteração:
a₂=0,2000, b₂=0,6500

(<0)
Como , intervalo vira .

Passo 6

4ª iteração:
a₃=0,4250, b₃=0,6500

(<0)
Intervalo vira .

Passo 7

5ª iteração:
a₄=0,5375, b₄=0,6500

(>0)
Fim das 5 iterações, intervalo .

Resposta

a) Para são necessárias 11 iterações.
b) Após 5 iterações (4 casas decimais, arredondamento padrão), os resultados foram:
Iteração | a | b | c | f©
1 | 0,2000 | 2,0000 | 1,1000 | 1,1953
2 | 0,2000 | 1,1000 | 0,6500 | 0,2192
3 | 0,2000 | 0,6500 | 0,4250 | -0,4304
4 | 0,4250 | 0,6500 | 0,5375 | -0,0831
5 | 0,5375 | 0,6500 | 0,5938 | 0,0722
A aproximação da raiz após 5 iterações é , com intervalo .

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