Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função,
no intervalo [0.2, 2].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método da bisseção em
no intervalo .
Conteúdo: método numérico – bisseção.
Vamos precisar de:
no intervalo
Conteúdo: método numérico – bisseção.
Vamos precisar de:
- Garantir que
. - A fórmula do número mínimo de iterações
- Repetir a bisseção calculando o ponto médio, checando o sinal de
e atualizando o intervalo.
Passo 2
Fórmula para iterações:
Então precisamos de
iterações para
.
Passo 3
1ª iteração (arredondar a 4 casas decimais):
a₀=0,2000, b₀=2,0000
(>0)
Como e
, novo intervalo
.
a₀=0,2000, b₀=2,0000
Como
Passo 4
2ª iteração:
a₁=0,2000, b₁=1,1000
(>0)
Como , intervalo vira
.
a₁=0,2000, b₁=1,1000
Como
Passo 5
3ª iteração:
a₂=0,2000, b₂=0,6500
(<0)
Como , intervalo vira
.
a₂=0,2000, b₂=0,6500
Como
Passo 6
4ª iteração:
a₃=0,4250, b₃=0,6500
(<0)
Intervalo vira .
a₃=0,4250, b₃=0,6500
Intervalo vira
Passo 7
5ª iteração:
a₄=0,5375, b₄=0,6500
(>0)
Fim das 5 iterações, intervalo .
a₄=0,5375, b₄=0,6500
Fim das 5 iterações, intervalo
Resposta
a) Para
são necessárias 11 iterações.
b) Após 5 iterações (4 casas decimais, arredondamento padrão), os resultados foram:
Iteração | a | b | c | f©
1 | 0,2000 | 2,0000 | 1,1000 | 1,1953
2 | 0,2000 | 1,1000 | 0,6500 | 0,2192
3 | 0,2000 | 0,6500 | 0,4250 | -0,4304
4 | 0,4250 | 0,6500 | 0,5375 | -0,0831
5 | 0,5375 | 0,6500 | 0,5938 | 0,0722
A aproximação da raiz após 5 iterações é , com intervalo
.
b) Após 5 iterações (4 casas decimais, arredondamento padrão), os resultados foram:
Iteração | a | b | c | f©
1 | 0,2000 | 2,0000 | 1,1000 | 1,1953
2 | 0,2000 | 1,1000 | 0,6500 | 0,2192
3 | 0,2000 | 0,6500 | 0,4250 | -0,4304
4 | 0,4250 | 0,6500 | 0,5375 | -0,0831
5 | 0,5375 | 0,6500 | 0,5938 | 0,0722
A aproximação da raiz após 5 iterações é