Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^3-4 x^2-10, no intervalo I=[1,2].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Então vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o Método Iterativo Linear (ou Método de Ponto Fixo) para achar um zero de
f(x)=x^3-4x^2-10
no intervalo I=[1,2].
Conteúdo: ponto–fixo, escolha de g(x), critério de convergência via derivada, e cinco iterações com truncamento em 4 casas decimais.

Passo 2

  1. Transformar a equação f(x)=0 em x=g(x). Da equação
x^3-4x^2-10=0Longrightarrow x^3=4x^2+10
podemos definir
g(x)=raiz[3]4x^2+10,
  1. Para garantir convergência, vamos avaliar
g'(x)=ddxl(4x^2+10r)^1/3 =13(4x^2+10)^-2/3cdot8x =8x3,(4x^2+10)^2/3,
Agora, em [1,2]:
  • Em x=1: g'(1)=83cdot14^2/3approx0.459
  • Em x=2: g'(2)=163cdot26^2/3approx0.608
    Como |g'(x)|<1 nesse intervalo, tá valendo o critério de contração.

Passo 3

Escolhemos um chute inicial x0=1.0000. Agora a regra é
xn+1=g(xn)=raiz[3]4xn^2+10
Vamos calcular e truncar em 4 casas decimais:
x₁ = g(1.0000) = raiz[3]4·1^2+10 = raiz[3]14 = 2.4101

Passo 4

x₂ = g(2.4101) = raiz[3]4·(2.4101)^2+10 =raiz[3]4·5.8086+10=raiz[3]33.2344=3.2075

Passo 5

x₃ = g(3.2075) = raiz[3]4·(3.2075)^2+10 =raiz[3]4·10.2931+10=raiz[3]51.1724=3.7131

Passo 6

x₄ = g(3.7131) = raiz[3]4·(3.7131)^2+10 =raiz[3]4·13.7928+10=raiz[3]65.1712=4.0235

Passo 7

x₅ = g(4.0235) = raiz[3]4·(4.0235)^2+10 =raiz[3]4·16.188+10=raiz[3]74.7520=4.2009

Resposta

Após 5 iterações, o zero aproximado de f(x) pelo Método Iterativo Linear é
boxedxapprox4.2009,

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