Use o método gráfico para resolver os seguintes sistemas:
\begin{aligned}& 2 x_{1}-6 x_{2}=-18 \\& -x_{1}+8 x_{2}=40\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x_{1}-6x_{2}=-18,\\\\ -\,x_{1}+8x_{2}=40 \end{cases}
usando o método gráfico. O conteúdo é “sistema linear em duas variáveis” e vamos precisar reescrever cada equação na forma “ x_{2}=m\,x_{1}+b”, traçar cada reta com dois pontos e então identificar o ponto de interseção.

Passo 2

Vamos isolar x_{2} em cada equação:
Da primeira equação
2x_{1}-6x_{2}=-18
temos
-6x_{2}=-18-2x_{1} \quad\Longrightarrow\quad 6x_{2}=2x_{1}+18 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{1}{3}x_{1}+3.
Da segunda equação
-\,x_{1}+8x_{2}=40
vem
8x_{2}=x_{1}+40 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{1}{8}x_{1}+5.

Passo 3

Para esboçar cada reta, basta dois pontos:
– Reta L_{1}:\;x_{2}=\tfrac{1}{3}x_{1}+3.
• Se x_{1}=0, então x_{2}=3.
• Se x_{2}=0, então 0=\tfrac{1}{3}x_{1}+3 \,\Rightarrow\,x_{1}=-9.
– Reta L_{2}:\;x_{2}=\tfrac{1}{8}x_{1}+5.
• Se x_{1}=0, então x_{2}=5.
• Se x_{2}=0, então 0=\tfrac{1}{8}x_{1}+5 \,\Rightarrow\,x_{1}=-40.
Agora desenhe L_{1} ligando (-9,0) a (0,3) e L_{2} ligando (-40,0) a (0,5).

Passo 4

O ponto de interseção é a solução do sistema. Igualamos as duas expressões de x_{2}:
\frac{1}{3}x_{1}+3 \;=\;\frac{1}{8}x_{1}+5.
Multiplicando por 24 para eliminar denominadores:
8x_{1}+72=3x_{1}+120 \quad\Longrightarrow\quad 5x_{1}=48 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{48}{5}.
Então
x_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{48}{5}+3 =\frac{16}{5}+3 =\frac{16+15}{5} =\frac{31}{5}.

Resposta

\bigl(x_{1},x_{2}\bigr)=\Bigl(\tfrac{48}{5},\,\tfrac{31}{5}\Bigr).

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