Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema 4 times 4 :
l 2 x1-x2+x3-x4=3 x1+3 x2+2 x3+x4=10 3 x1+2 x2-4 x3+2 x4=-2 x1-2 x2+5 x3-3 x4=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de 4 equações com 4 incógnitas usando o método de eliminação de Gauss, tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial. O que a gente precisa fazer é transformar a matriz do sistema em uma forma mais simples, onde fica fácil encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos usar operações nas linhas da matriz para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada:
2 & -1 & 1 & -1 & | & 3 1 & 3 & 2 & 1 & | & 10 3 & 2 & -4 & 2 & | & -2 1 & -2 & 5 & -3 & | & 7

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminação sem pivoteamento. O objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (2).
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o x₁ das outras linhas.
  • Para a segunda linha:
    • Multiplicamos a primeira linha por (1/2) e subtraímos da segunda linha.
  • Para a terceira linha:
    • Multiplicamos a primeira linha por (3/2) e subtraímos da terceira linha.
  • Para a quarta linha:
    • Multiplicamos a primeira linha por (1/2) e subtraímos da quarta linha.
Após essas operações, a matriz fica assim:
2 & -1 & 1 & -1 & | & 3 0 & 3.5 & 1.5 & 1.5 & | & 8.5 0 & 3.5 & -5.5 & 2.5 & | & -6.5 0 & -1.5 & 4.5 & -2.5 & | & 5.5

Passo 4

Agora, vamos continuar eliminando, seguindo para a segunda coluna. Queremos zerar os elementos abaixo do 3.5 na segunda coluna.
  • Para a terceira linha:
    • Subtraímos a segunda linha da terceira linha.
  • Para a quarta linha:
    • Adicionamos (1.5/3.5) vezes a segunda linha à quarta linha.
Após essas operações, a matriz fica:
2 & -1 & 1 & -1 & | & 3 0 & 3.5 & 1.5 & 1.5 & | & 8.5 0 & 0 & -7 & 1 & | & -15 0 & 0 & 5 & -1 & | & 9

Passo 5

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos zerar o elemento abaixo de -7.
  • Para a quarta linha:
    • Adicionamos (5/ -7) vezes a terceira linha à quarta linha.
Após essa operação, a matriz fica:
2 & -1 & 1 & -1 & | & 3 0 & 3.5 & 1.5 & 1.5 & | & 8.5 0 & 0 & -7 & 1 & | & -15 0 & 0 & 0 & 0.2857 & | & 6

Passo 6

Agora que a matriz está na forma triangular superior, podemos resolver as equações de baixo para cima.
  • Da quarta linha:
    0.2857x4 = 6 Rightarrow x4 = 60.2857 approx 21
  • Da terceira linha:
    -7x3 + x4 = -15 Rightarrow -7x3 + 21 = -15 Rightarrow -7x3 = -36 Rightarrow x3 = -36-7 approx 5.14
  • Da segunda linha:
    3.5x2 + 1.5x3 + 1.5x4 = 8.5
    Substituindo x₃ e x₄:
    3.5x2 + 1.5(5.14) + 1.5(21) = 8.5
    3.5x2 + 7.71 + 31.5 = 8.5
    3.5x2 = 8.5 - 39.21
    3.5x2 = -30.71 Rightarrow x2 approx -8.776
  • Da primeira linha:
    2x1 - x2 + x3 - x4 = 3
    Substituindo x₂, x₃ e x₄:
    2x1 - (-8.776) + 5.14 - 21 = 3
    2x1 + 8.776 + 5.14 - 21 = 3
    2x1 - 7.084 = 3 Rightarrow 2x1 = 10.084 Rightarrow x1 approx 5.042

Resposta

Os valores das incógnitas são aproximadamente:
x1 approx 5.042, x2 approx -8.776, x3 approx 5.14, x4 approx 21

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