Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
l x1+2 x2+3 x3=14, 2 x1-x2+4 x3=10, 3 x1+x2-5 x3=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema
x1+2x2+3x3=14, 2x1-x2+4x3=10, 3x1+x2-5x3=-2
O conteúdo aqui é o método de eliminação de Gauss (eliminar incógnitas linha a linha) e, depois, o mesmo com pivoteamento parcial (trocar linhas para ter pivô maior). Para isso a gente vai montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha (multiplicar, somar, trocar linhas) e depois fazer substituição regressiva.

Passo 2

Montando a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 14 2 & -1 & 4 & 10 3 & 1 & -5 & -2 ]

Passo 3

Eliminação sem pivoteamento
  1. Usamos o a11=1 como pivô. Zeramos abaixo:
  • R2 ← R2 − 2·R1
  • R3 ← R3 − 3·R1
Fica
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 14 0 & -5 & -2 & -18 0 & -5 & -14 & -44 ]
  1. Agora pivô é a22=-5. Zeramos abaixo:
  • R3 ← R3 − R2
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 14 0 & -5 & -2 & -18 0 & 0 & -12 & -26 ]

Passo 4

Substituição regressiva (sem pivoteamento)
Da 3ª linha:
-12,x3=-26Longrightarrow x3=136
Da 2ª linha:
-5,x2-2,x3=-18 Longrightarrow -5,x2=-18+2cdot136=-826 Longrightarrow x2=4115
Da 1ª linha:
x1+2x2+3x3=14 Longrightarrow x1=14-2cdot4115-3cdot136 =6130

Passo 5

Eliminação com pivoteamento parcial
  1. Olhamos a coluna 1 e vemos o maior valor absoluto em baixo: |3|>|2|>|1|. Então trocamos R1 ↔ R3 antes de eliminar:
[ccc|c 3 & 1 & -5 & -2 2 & -1 & 4 & 10 1 & 2 & 3 & 14 ]

Passo 6

Continuando com pivoteamento parcial
A) Zeramos a coluna 1 abaixo de 3:
  • R2 ← R2 − (2/3)·R1
  • R3 ← R3 − (1/3)·R1
[ccc|c 3 & 1 & -5 & -2 0 & -tfrac53 & tfrac223 & tfrac343 0 & tfrac53 & tfrac143 & tfrac443 ]
B) Na coluna 2, o pivô ideal é o maior em módulo entre as linhas 2 e 3; aqui ambos têm 5/3, então não trocamos. Zeramos R3:
  • R3 ← R3 − ( [ccc|c 3 & 1 & -5 & -2 0 & -tfrac53 & tfrac223 & tfrac343 0 & 0 & 12 & 26 ] )·R2 = R3 + R2
12,x3=26;Rightarrow;x3=tfrac136, -tfrac53x2+tfrac223x3=tfrac343;Rightarrow;x2=tfrac4115,
C) Substituição regressiva:
3x1+x2-5x3=-2;Rightarrow;x1=tfrac6130

Resposta

x₁ = 61/30,  x₂ = 41/15,  x₃ = 13/6

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