Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
l x1+3 x2-x3=4 2 x1-x2+4 x3=5 3 x1+2 x2+x3=6

Passo 1

Beleza, o enunciado nos pede pra resolver o sistema
x1+3x2-x3=4, 2x1-x2+4x3=5, 3x1+2x2+x3=6
usando eliminação de Gauss sem pivoteamento e depois com pivoteamento parcial. Vamos precisar entender:
  • matriz aumentada e operações elementares (somar linhas, multiplicar por escalar),
  • pivô (o elemento na diagonal que usamos pra eliminar abaixo dele),
  • pivoteamento parcial (trocar linhas pra evitar divisão por pivô pequeno).

Passo 2

Eliminação sem pivoteamento – fase 1:
  1. Montamos a matriz aumentada
[ccc|c 1 & 3 & -1 & 4 2 & -1 & 4 & 5 3 & 2 & 1 & 6 ]
  1. Usamos o pivô a11=1 pra zerar embaixo:
  • R2 R2-2R1
  • R3 R3-3R1
    Isso dá
[ccc|c 1 & 3 & -1 & 4 0 & -7 & 6 & -3 0 & -7 & 4 & -6 ]

Passo 3

Eliminação sem pivoteamento – fase 2 e back‐substitution:
  1. Pivô a22=-7. Zera em R3:
R3 R3 - -7-7R2 = R3 - R2 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 3 & -1 & 4 0 & -7 & 6 & -3 0 & 0 & -2 & -3 ]
  1. Back‐substitution:
  • Da 3ª linha: -2x3=-3implies x3=tfrac32.
  • Da 2ª linha: -7x2+6cdottfrac32=-3implies -7x2+9=-3implies x2=tfrac127.
  • Da 1ª linha: x1+3cdottfrac127-tfrac32=4implies x1=tfrac514.

Passo 4

Eliminação com pivoteamento parcial – fase 1:
  1. Olhamos a coluna 1 e achamos o maior valor em módulo entre 1,2,3, que é 3 (linha 3).
  2. Trocamos R1rightarrow R3:
[ccc|c 3 & 2 & 1 & 6 2 & -1 & 4 & 5 1 & 3 & -1 & 4 ]
  1. Agora pivô a11=3. Zera embaixo:
  • R2 R2-tfrac23R1,
  • R3 R3-tfrac13R1,
    resultando em
[ccc|c 3 & 2 & 1 & 6 0 & -tfrac73 & tfrac103 & 1 0 & tfrac73 & -tfrac43 & 2 ]

Passo 5

Eliminação com pivoteamento parcial – fase 2 e back‐substitution:
  1. Pivô a22=-tfrac73. Como em módulo bate com tfrac73 não trocamos linhas (é opcional).
  2. Zera em R3:
R3 R3 - tfrac73-tfrac73R2 =R3+R2 ;Longrightarrow; [ccc|c 3 & 2 & 1 & 6 0 & -tfrac73 & tfrac103 & 1 0 & 0 & 2 & 3 ]
  1. Back‐substitution igualzinha:
  • 2x3=3implies x3=tfrac32.
  • -tfrac73x2+tfrac103cdottfrac32=1implies x2=tfrac127.
  • 3x1+2cdottfrac127+ tfrac32=6implies x1=tfrac514.

Resposta

Em ambos os casos (sem e com pivoteamento parcial), a solução é
x1=514, x2=127, x3=32

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