Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
Passo 1
Beleza, o enunciado nos pede pra resolver o sistema
usando eliminação de Gauss sem pivoteamento e depois com pivoteamento parcial. Vamos precisar entender:
- matriz aumentada e operações elementares (somar linhas, multiplicar por escalar),
- pivô (o elemento na diagonal que usamos pra eliminar abaixo dele),
- pivoteamento parcial (trocar linhas pra evitar divisão por pivô pequeno).
Passo 2
Eliminação sem pivoteamento – fase 1:
- Montamos a matriz aumentada
- Usamos o pivô
pra zerar embaixo:a11=1
-
R2 R2-2R1 -
R3 R3-3R1
Isso dá
Passo 3
Eliminação sem pivoteamento – fase 2 e back‐substitution:
- Pivô
. Zera ema22=-7 :R3
- Back‐substitution:
- Da 3ª linha:
.-2x3=-3implies x3=tfrac32 - Da 2ª linha:
.-7x2+6cdottfrac32=-3implies -7x2+9=-3implies x2=tfrac127 - Da 1ª linha:
.x1+3cdottfrac127-tfrac32=4implies x1=tfrac514
Passo 4
Eliminação com pivoteamento parcial – fase 1:
- Olhamos a coluna 1 e achamos o maior valor em módulo entre
, que é1,2,3 (linha 3).3 - Trocamos
:R1rightarrow R3
- Agora pivô
. Zera embaixo:a11=3
-
,R2 R2-tfrac23R1 -
,R3 R3-tfrac13R1
resultando em
Passo 5
Eliminação com pivoteamento parcial – fase 2 e back‐substitution:
- Pivô
. Como em módulo bate coma22=-tfrac73 não trocamos linhas (é opcional).tfrac73 - Zera em
:R3
- Back‐substitution igualzinha:
-
.2x3=3implies x3=tfrac32 -
.-tfrac73x2+tfrac103cdottfrac32=1implies x2=tfrac127 -
.3x1+2cdottfrac127+ tfrac32=6implies x1=tfrac514
Resposta
Em ambos os casos (sem e com pivoteamento parcial), a solução é