Utilize o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema:
l 3 x+y-2 z=5 2 x-2 y+4 z=-6 -x+3 y-z=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
l 3x + y - 2z = 5 2x - 2y + 4z = -6 -x + 3y - z = 4
O conteúdo que vamos precisar aqui é o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares transformando as equações em uma forma mais simples usando operações de linha. Vamos precisar manipular as equações para isolar as variáveis e encontrar os valores de $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada. Isso facilita a aplicação das operações de linha. A matriz aumentada fica assim:
3 & 1 & -2 & | & 5 2 & -2 & 4 & | & -6 -1 & 3 & -1 & | & 4

Passo 3

O objetivo é converter essa matriz em uma matriz identidade na parte esquerda. Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, podemos dividir a primeira linha por 3:
R1 div 3 R1
A matriz fica:
1 & 13 & -23 & | & 53 2 & -2 & 4 & | & -6 -1 & 3 & -1 & | & 4

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Vamos fazer isso ajustando as linhas 2 e 3.
Para zerar o 2 na segunda linha:
R2 - 2 times R1 R2
Para zerar o -1 na terceira linha:
R3 + R1 R3
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 13 & -23 & | & 53 0 & -83 & 103 & | & -163 0 & 103 & -53 & | & 173

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por -38:
R2 times (-38) R2
A matriz fica:
1 & 13 & -23 & | & 53 0 & 1 & -54 & | & 2 0 & 103 & -53 & | & 173

Passo 6

Com o 1 na segunda linha e segunda coluna, vamos zerar os elementos acima e abaixo dele.
Primeiro, na primeira linha:
R1 - 13 times R2 R1
E na terceira linha:
R3 - 103 times R2 R3
A matriz agora fica:
1 & 0 & -12 & | & 1 0 & 1 & -54 & | & 2 0 & 0 & 52 & | & -12

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por 25:
R3 times 25 R3
A matriz fica:
1 & 0 & -12 & | & 1 0 & 1 & -54 & | & 2 0 & 0 & 1 & | & -15

Passo 8

Por fim, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna.
Na primeira linha:
R1 + 12 times R3 R1
Na segunda linha:
R2 + 54 times R3 R2
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 0 & 0 & | & 910 0 & 1 & 0 & | & 910 0 & 0 & 1 & | & -15

Resposta

A solução do sistema é:
x = 910, y = 910, z = -15

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