Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^3-x-1, no intervalo I=[0,2].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz pra usar o Método Iterativo Linear (também chamado de método do ponto fixo) pra achar a raiz de
f(x)=x^3 - x - 1
no intervalo . Isso faz parte de Métodos Numéricos (raízes de equações não-lineares) e pra resolver a gente vai precisar de:
  1. Reformular como .
  2. Verificar se é contração (usando ).
  3. Iterar até 5 iterações, usando truncamento a 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro escolhemos uma forma simples de x^3 = x + 1 Longrightarrow x = (x+1)^1/3 . Da equação g(x) = (x+1)^1/3 isolamos g'(x) = 13(x+1)^-2/3 :
|g'(x)| <= 13,(1)^2/3 = 13 < 1
Então definimos
Agora, pra garantir convergência pelo Teorema do Ponto Fixo, checamos
No nosso intervalo , , então
Isso mostra que é contração em e o método converge.

Passo 3

Vamos partir de xn+1 = g(xn) = (xn + 1)^1/3, . A regra é
x1 = (1 + 1)^1/3 = 2^1/3 approx 1259921;;longrightarrow;;12599
sempre truncando o resultado a 4 casas decimais (corta, não arredonda).
1ª iteração:
x2 = (12599 + 1)^1/3 = 22599^1/3 approx 1312148;;longrightarrow;;13121
2ª iteração:

Passo 4

3ª iteração:
x3 = (13121 + 1)^1/3 = 23121^1/3 approx 1322183;;longrightarrow;;13221
4ª iteração:
x4 = (13221 + 1)^1/3 = 23221^1/3 approx 1324337;;longrightarrow;;13243

Passo 5

5ª iteração:
x5 = (13243 + 1)^1/3 = 23243^1/3 approx 1324899;;longrightarrow;;13248

Resposta

Depois de 5 iterações (com truncamento a 4 casas decimais), a aproximação da raiz é
boxedx approx 13248

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