Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^2+e^3 x-3, no intervalo I=[0,1].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente usar o Método Iterativo Linear (também chamado de método do ponto-fixo) pra achar uma raiz de
f(x)=x^2+e^3x-3
no intervalo [0,1]. Precisamos:
1) Encontrar uma função g(x) tal que x=g(x) seja equivalente a f(x)=0, e calcular g'(x).
2) Rodar o esquema iterativo xn+1=g(xn) até 5 iterações, truncando tudo a 4 casas decimais.

Passo 2

Pra transformar f(x)=0 em x=g(x), isolemos e^3x:
x^2+e^3x-3=0Longrightarrow e^3x=3-x^2,
Aplicando ln e dividindo por 3, a gente chega em
g(x)=13lnl(3 - x^2r),
Agora a derivada:
g'(x)=13cdotddxl[ln(3-x^2)r] =13cdot-2x3-x^2 =-2x3,(3 - x^2),

Passo 3

Pra garantir convergência do ponto-fixo, a gente quer |g'(x)|<1 em [0,1].
Em [0,1], x>=0 então
|g'(x)|=2x3(3 - x^2)<= 2cdot13(3-1)=26=tfrac13<1
Beleza, é contração, então dá pra iterar tranquilo.

Passo 4

Escolho x0=0.5. A cada xn+1=g(xn) eu calculo e TRUNCO pra 4 casas (sem arredondar).
  1. x1=tfrac13lnl(3-0.5^2r)=tfrac13ln(2.75)approx0.3372003;to;0.3372
  2. x2=tfrac13lnl(3-0.3372^2r)approx0.3535;to;0.3535
  3. x3=tfrac13lnl(3-0.3535^2r)approx0.3521;to;0.3521
  4. x4=tfrac13lnl(3-0.3521^2r)approx0.3522;to;0.3522
  5. x5=tfrac13lnl(3-0.3522^2r)approx0.3522;to;0.3522

Resposta

A aproximação pela 5ª iteração, truncada a 4 casas decimais, é
boxed0,3522,

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