Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^3-cos (x), no intervalo I=[0,2].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente achar a raiz de
f(x)=x^3-cos(x)
no intervalo usando um Método Iterativo Linear (ou Ponto Fixo).
Conteúdo: transformamos em , mostramos a expressão de e sua derivada , checamos o critério de convergência (|g′|<1) e, por fim, rodamos 5 iterações, truncando em 4 casas decimais.

Passo 2

Para isolar x^3=cos(x)Longrightarrow x=raiz[,3,]cos(x) em g(x)=l(cos(x)r)^1/3 temos
g'(x)=ddxl(cos(x)r)^1/3 =13l(cos(x)r)^-2/3cdotl(-sin(x)r) =-sin(x)3,l(cos(x)r)^2/3
Logo escolhemos
Agora, calculamos a derivada (pra ver se ela é uma contração):

Passo 3

Critério de convergência (construção de contração):
  • No nosso processo as estimativas vão ficar em torno de [0,1], onde 0<=sin(x)<=sin(1)approx0,84, cos(x)>=cos(1)approx0,54 nunca zera e é positivo.
  • Para |g'(x)|;=;sin(x)3,[cos(x)]^2/3 ;<=;0,843,(0,54)^2/3 approx0,44;<1 :
  • Assim
Logo é contração e garante convergência ao nosso ponto fixo.

Passo 4

Agora rodamos 5 iterações com truncamento em 4 casas decimais. Vamos usar xk+1 = g(xk) = l(cos(xk)r)^1/3 .
Definição:
x0=1,0000
Iterando e truncando (não arredondando):
k = 0:
x1=raiz[3]cos(1)=raiz[3]0,540302 approx0,8146 (truncado)
k = 1:
x2=raiz[3]cos(0,8146)=raiz[3]0,6857 approx0,8820
k = 2:
x3=raiz[3]cos(0,8820)=raiz[3]0,6346 approx0,8592
k = 3:
x4=raiz[3]cos(0,8592)=raiz[3]0,6521 approx0,8673
k = 4:
x5=raiz[3]cos(0,8673)=raiz[3]0,6460 approx0,8648
k = 5:

Resposta

A raiz aproximada, após 5 iterações e truncamento em 4 casas decimais, é
boxedx5=0,8648

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