Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função,
, no intervalo
.
a) Mostre a função
e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.
a) Mostre a função
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra usar o Método Iterativo Linear (também chamado de iteração de ponto-fixo) pra achar a raiz de
no intervalo
Conteúdo: ponto-fixo e condição de convergência via derivada.
O que precisamos:
- Reescrever
- Verificar que
- Escolher um chute inicial
Passo 2
Primeiro, achamos uma função
tal que
.
Da equação
Da equação
podemos isolar
Logo, escolhemos
Em seguida, calculamos a derivada de
Passo 3
Agora vimos se essa
“puxa” a iteração pra um fixo (convergência):
Para ,
Para
varia de
Como
em todo o intervalo,
é contração e garante convergência.
Passo 4
Escolhemos um chute inicial simples, por exemplo
.
A regra de iteração é
A regra de iteração é
Truncamos cada resultado a 4 casas decimais. Vamos lá:
n | xₙ antes | xₙ₊₁ = ln(xₙ+2) | truncado (4 dec.) |
---|---|---|---|
0 | 1.0000 | ln(3.0000)=1.098612289 | 1.0986 |
1 | 1.0986 | ln(3.0986)≈1.13094 | 1.1309 |
2 | 1.1309 | ln(3.1309)≈1.14137 | 1.1413 |
3 | 1.1413 | ln(3.1413)≈1.14464 | 1.1446 |
4 | 1.1446 | ln(3.1446)≈1.14568 | 1.1456 |
Fizemos 5 iterações (de
até
), sempre truncando.
Resposta
Aproximação da raiz após 5 iterações (truncadas a 4 casas decimais) é