Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= e^x-x-2, no intervalo I=[0,2].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra usar o Método Iterativo Linear (também chamado de iteração de ponto-fixo) pra achar a raiz de
f(x)=e^x - x - 2
no intervalo [0,2].
Conteúdo: ponto-fixo e condição de convergência via derivada.
O que precisamos:
- Reescrever f(x)=0 na forma x=g(x).
- Verificar que |g'(x)|<1 em [0,2] (pra garantir convergência).
- Escolher um chute inicial x0in[0,2] e iterar xn+1=g(xn), truncando a 4 casas decimais, até 5 iterações.

Passo 2

Primeiro, achamos uma função g(x) tal que x = g(x)iff f(x)=0.
Da equação
e^x - x - 2 = 0
podemos isolar x:
x = ln(x + 2),
Logo, escolhemos
g(x) = ln(x+2),
Em seguida, calculamos a derivada de g:
g'(x) = 1x+2,

Passo 3

Agora vimos se essa g “puxa” a iteração pra um fixo (convergência):
Para xin[0,2],
g'(x) = 1x+2
varia de 1/(0+2)=0,5 até 1/(2+2)=0,25.
Como
0.25 <= |g'(x)| <= 0.5 < 1
em todo o intervalo, g é contração e garante convergência.

Passo 4

Escolhemos um chute inicial simples, por exemplo x0 = 1.
A regra de iteração é
xn+1 = g(xn) = ln(xn + 2),
Truncamos cada resultado a 4 casas decimais. Vamos lá:
n xₙ antes xₙ₊₁ = ln(xₙ+2) truncado (4 dec.)
0 1.0000 ln(3.0000)=1.098612289 1.0986
1 1.0986 ln(3.0986)≈1.13094 1.1309
2 1.1309 ln(3.1309)≈1.14137 1.1413
3 1.1413 ln(3.1413)≈1.14464 1.1446
4 1.1446 ln(3.1446)≈1.14568 1.1456
Fizemos 5 iterações (de x0 até x5), sempre truncando.

Resposta

Aproximação da raiz após 5 iterações (truncadas a 4 casas decimais) é
boxedx5 approx 1.1456

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