Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= e^x+cos (x)-5, no intervalo I=[1,2].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Resumo rápido do problema: a gente quer achar a raiz de

no intervalo usando o Método Iterativo Linear (que na real é o Método do Ponto-Fixo).
Conteúdo: métodos numéricos de solução de equações não-lineares.
O que vamos precisar:
  1. transformar numa forma ,
  2. mostrar que essa é contração (avaliar e ver que ),
  3. iterar por 5 vezes, truncando em 4 casas decimais.

Passo 2

Transformando em ponto-fixo:
queremos f(x)=e^x+cos x-5=0Longrightarrow e^x=5-cos x tal que g(x)=lnl(5-cos xr) .
Como
xn+1=g(xn)=lnl(5-cos(xn)r)
tirando logaritmo, uma opção simples é
Então o esquema de iteração será

Passo 3

Convergência pelo Critério da Derivada:
g'(x)=ddxln(5-cos x) =sin x5-cos x
No nosso intervalo |g'(x)|<=14<1, :

  • logo
o que garante que é contração e manda o valor pra dentro de .

Passo 4

Escolhendo chute inicial xn+1=lnl(5-cos(xn)r) .
Vamos iterar
e, a cada resultado, truncar em 4 casas decimais (ou seja, cortamos sem arredondar).

Passo 5

Cálculo das 5 iterações (truncando em 4 casas):
  1. 1,5951
  2. 1,6142
  3. 1,6180
  4. 1,6188
  5. 1,6189

Resposta

Aproximação da raiz após 5 iterações:
boxedxapprox1,6189

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