Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, e^x-2=cos (e^x-2) no intervalo [-1.5,2.5].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra usar o método da bisseção pra achar uma raiz aproximada da função
f(x)=e^x-2-cosl(e^x-2r)
no intervalo . É conteúdo de métodos numéricos (solução de equações não-lineares) e a gente vai precisar de:
1. Saber aplicar o critério de troca de sinal (ou seja, achar e tais que ).
2. Conhecer a fórmula da bisseção para achar o ponto médio e atualizar o intervalo.
3. A fórmula que dá o número mínimo de iterações para uma tolerância .

Passo 2

Como funciona o método da bisseção?
  1. Você parte de um intervalo N>=lnl((b-a)/varepsilonr)ln(2) com .
  2. Calcula o ponto médio e avalia .
  3. Se , a raiz está em ; senão (isto é, se ), a raiz está em .
  4. Repete até que o comprimento do intervalo fique menor que a tolerância desejada.
Pra saber quantas iterações são necessárias para garantir , usamos

Passo 3

(a) Número de iterações para N>=ln(4/10^-3)ln2 =ln(4000)ln2 approx8.29400.6931 approx11.97 :
Nosso intervalo inicial tem tamanho boxedN=12 iterações .
Como não dá pra fazer “0.97” de iteração, a gente arredonda pra cima:
çõ

Passo 4

(b) Vamos executar o método por 5 iterações, sempre arredondando a 4 casas decimais:
Dados iniciais:
, .
Iteração 1:
.
.
Como e , trocamos :
Iteração 2:
.
.
Agora e , trocamos :
Iteração 3:
.
.
Como e , trocamos :
Iteração 4:
.
.
Agora e , trocamos :
Iteração 5:
.
.
Como e , trocamos :
Resumo das 5 iterações:
m₁=0.5000, f(m₁)=–1.2900
m₂=1.5000, f(m₂)=+3.2717
m₃=1.0000, f(m₃)=–0.0343
m₄=1.2500, f(m₄)=+1.4105
m₅=1.1250, f(m₅)=+0.6119

Resposta

a) São necessárias 12 iterações para .
b) As aproximações (com 4 casas decimais) nas 5 primeiras iterações são:
m₁=0.5000, m₂=1.5000, m₃=1.0000, m₄=1.2500, m₅=1.1250.

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