Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função,
no intervalo
.
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra usar o método da bisseção pra achar uma raiz aproximada da função
no intervalo
1. Saber aplicar o critério de troca de sinal (ou seja, achar
2. Conhecer a fórmula da bisseção para achar o ponto médio e atualizar o intervalo.
3. A fórmula que dá o número mínimo de iterações para uma tolerância
Passo 2
Como funciona o método da bisseção?
- Você parte de um intervalo
com . - Calcula o ponto médio
e avalia . - Se
, a raiz está em ; senão (isto é, se ), a raiz está em . - Repete até que o comprimento do intervalo fique menor que a tolerância desejada.
Pra saber quantas iterações
são necessárias para garantir
, usamos
Passo 3
(a) Número de iterações para
:
Nosso intervalo inicial tem tamanho .
Nosso intervalo inicial tem tamanho
Como não dá pra fazer “0.97” de iteração, a gente arredonda pra cima:
Passo 4
(b) Vamos executar o método por 5 iterações, sempre arredondando a 4 casas decimais:
Dados iniciais:
,
.
Iteração 1:
.
.
Como e
, trocamos
:
Como
Iteração 2:
.
.
Agora e
, trocamos
:
Agora
Iteração 3:
.
.
Como e
, trocamos
:
Como
Iteração 4:
.
.
Agora e
, trocamos
:
Agora
Iteração 5:
.
.
Como e
, trocamos
:
Como
Resumo das 5 iterações:
m₁=0.5000, f(m₁)=–1.2900
m₂=1.5000, f(m₂)=+3.2717
m₃=1.0000, f(m₃)=–0.0343
m₄=1.2500, f(m₄)=+1.4105
m₅=1.1250, f(m₅)=+0.6119
m₁=0.5000, f(m₁)=–1.2900
m₂=1.5000, f(m₂)=+3.2717
m₃=1.0000, f(m₃)=–0.0343
m₄=1.2500, f(m₄)=+1.4105
m₅=1.1250, f(m₅)=+0.6119
Resposta
a) São necessárias 12 iterações para
.
b) As aproximações (com 4 casas decimais) nas 5 primeiras iterações são:
m₁=0.5000, m₂=1.5000, m₃=1.0000, m₄=1.2500, m₅=1.1250.
b) As aproximações (com 4 casas decimais) nas 5 primeiras iterações são:
m₁=0.5000, m₂=1.5000, m₃=1.0000, m₄=1.2500, m₅=1.1250.