Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^-4 para os problemas a seguir.
x^{3}+3 x^{2}-1=0,[-3,-2]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método de Newton (também chamado de Newton–Raphson) pra achar uma raiz da equação
f(x)=x^3+3x^2-1=0
no intervalo xn+1=xn-f(xn)f'(xn), , com precisão de .
Conteúdo: método numérico de Newton, que precisa de
1) uma função ,
2) sua derivada ,
3) um palpite inicial dentro do intervalo,
4) a fórmula iterativa

e um critério de parada (aqui, valor de ou diferença entre iterações menor que ).

Passo 2

Definindo a função e a derivada:
f(x)=x^3+3x^2-1, f'(x)=3x^2+6x
Escolhe um chute inicial dentro de x0=-2.5 . Vou usar

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Newton. Iteração 1:
f(x0)=(-2.5)^3+3(-2.5)^2-1=2.125, f'(x0)=3cdot6.25+6cdot(-2.5)=3.75,
x1=x0-f(x0)f'(x0) =-2.5-2.1253.75approx -3.0667

Passo 4

Iteração 2:
f(x1)approx(-3.0667)^3+3(-3.0667)^2-1approx -1.6510, f'(x1)approx9.8120,
x2=-3.0667--1.65109.8120approx -2.8985
Iteração 3:
f(x2)approx(-2.8985)^3+3(-2.8985)^2-1approx -0.1573, f'(x2)approx7.8177,
x3=-2.8985--0.15737.8177approx -2.8784

Passo 5

Iteração 4:
f(x3)approx(-2.8784)^3+3(-2.8784)^2-1approx -0.0031, f'(x3)approx7.5920,
x4=-2.8784--0.00317.5920approx -2.8794
Aqui já temos f(x4)approx(-2.8794)^3+3(-2.8794)^2-1approx 5times10^-5, f'(x4)approx7.5800, e x5=-2.8794-5times10^-57.5800approx -2.8794(diferença 6.6times10^-5<10^-4) . Pra garantir , vamos mais uma:
Iteração 5:
ç

Resposta

A raiz aproximada, com precisão boxedxapprox -2.8794 , é

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