Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^-4 para os problemas a seguir.
x-\cos x=0,[0, \pi / 2]

Passo 1

Então vamos achar, usando o método de Newton, a solução da equação
x - cos x = 0
no intervalo , com precisão de .
O que precisamos:
  1. Definir a função .
  2. Calcular a derivada .
  3. Escolher um chute inicial .
  4. Aplicar a fórmula do método de Newton até a diferença .

Passo 2

Definindo:
f(x)=x-cos x, f'(x)=1+sin x
A ideia geral do Newton é aproximar a curva de xn+1=xn-f(xn)f'(xn) por uma reta (a tangente) e ir “descendo” até a raiz. A fórmula é

Passo 3

Escolhemos um chute inicial razoável dentro de x0 = 0.5 . Vamos usar
A partir daí, iteramos até a mudança ser menor que .

Passo 4

Primeira iteração ( f(x0)=0.5-cos(0.5)approx -0.37758, f'(x0)=1+sin(0.5)approx 1.47943, ):
x1 = 0.5 - -0.377581.47943 approx 0.75524, |x1 - x0|approx 0.25524

Passo 5

Segunda iteração ( f(x1)=0.75524-cos(0.75524)approx 0.02624, f'(x1)=1+sin(0.75524)approx 1.68560, ):
x2 = 0.75524 - 0.026241.68560 approx 0.73986, |x2 - x1|approx 0.01538

Passo 6

Terceira iteração ( f(x2)=0.73986-cos(0.73986)approx 0.00053, f'(x2)=1+sin(0.73986)approx 1.67361, ):
x3 = 0.73986 - 0.000531.67361 approx 0.73909, |x3 - x2|approx 0.00078

Passo 7

Quarta iteração ( f(x3)=0.73909-cos(0.73909)approx 3.5times10^-7, f'(x3)=1+sin(0.73909)approx 1.67361, ):
x4 = 0.73909 - 3.5times10^-71.67361 approx 0.73909, |x4 - x3|approx 2times10^-7<10^-4
Parou aqui porque a mudança ficou abaixo de .

Resposta

A solução aproximada, com precisão de boxedx approx 0.7391 , é

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