Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^-4 para os problemas a seguir.
x-0,8-0,2 \operatorname{sen} x=0,[0, \pi / 2]

Passo 1

Beleza, então a gente tem a equação

no intervalo x - 0.8 - 0.2sen x = 0 e quer achar a solução com precisão xn+1=xn - f(xn)f'(xn) usando o método de Newton.
Conteúdo: método de Newton para raízes de funções .
O que precisamos:
1) Definir e .
2) Aplicar a fórmula de iteração de Newton

3) Repetir até .

Passo 2

Primeiro a gente identifica:
A ideia do Newton é usar a reta tangente em f(x)=x - 0.8 - 0.2sen x, f'(x)=ddx[x - 0.8 - 0.2sen x] =1 - 0.2cos x para estimar a raiz:
xn+1=xn - f(xn)f'(xn)

Passo 3

Escolhemos um chute inicial razoável, digamos x1 = 1.0 - 0.03200.8920approx1.0 - 0.0359 = 0.9641 (está dentro de ).
Vamos calcular :
  1. .
  2. .

Passo 4

Agora iteramos de novo:
Para f(0.9641)=0.9641-0.8-0.2cdot0.8220approx-0.00030 :
  1. , então
f'(0.9641)=1-0.2cdot0.5694=0.8861
  1. x2 = 0.9641 - -0.000300.8861approx0.9641 + 0.00034 = 0.9645 , então
f(0.9645)approx7.0times10^-5, f'(0.9645)approx0.8861,
x3 = 0.9645 - 7.0times10^-50.8861approx0.9644
Diferença , ainda maior que , seguimos mais uma vez:
Para :
Agora , paramos.

Resposta

A solução aproximada é
boxedxapprox0.9644

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