Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^-5 para os problemas a seguir.
sen x-e^-x=0 para 0 <= x <= 1,3 <= x <= 4 e 6 <= x <= 7

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar as raízes da equação
nos intervalos f(x)=sen x - e^-x=0, xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e , usando o método de Newton até termos precisão de .
Conteúdo: é um problema de Métodos Numéricos, mais especificamente de “Método de Newton” para encontrar raízes.
O que vamos precisar:
  • A função .
  • A derivada .
  • A fórmula do Newton:

Passo 2

Antes de começar a iterar, vamos entender o método de Newton:
  1. Escolho um palpite inicial x1 = x0 - f(x0)f'(x0) dentro do intervalo que me interessa.
  2. Calculo e .
  3. Atualizo via
  1. Repito até .

Passo 3

  1. Definimos x1 = 0.5 - -0.12711.4841approx0.5856 .
  2. Calculamos:
    ,
    x2approx0.5874, x3approx0.5873, .
  3. Atualiza:
  1. Repetindo mais duas vezes chega-se a
e .

Passo 4

  1. Palpite inicial x1 = 3.5 - -0.3810-0.9063approx3.0795 .
  2. ,
    x2approx3.0965, x3approx3.0968, .
  1. Mais duas iterações levam a
com .

Passo 5

  1. Palpite inicial x1 = 6.5 - 0.21360.9777approx6.2815 .
  2. ,
    x2approx6.2850, x3approx6.2850, .
  1. Duas iterações depois dá
e novamente .

Resposta

As raízes encontradas com precisão xapprox 0.58730, xapprox 3.09680, xapprox 6.28504 são:

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