Utilize todos os três métodos desta seção para encontrar soluções com precisão de 10^-7 para os problemas a seguir.
x+1-2 sen pi x=0 para 0 <= x <= 12 e para 12 <= x <= 1

Passo 1

Então, a questão pede pra gente achar as soluções da função
f(x)=x+1-2sin(pi x)=0
em dois intervalos:

  1. com precisão de , usando os três métodos da disciplina:
  • Bissecção
  • Newton–Raphson
  • Secante
O conteúdo aqui é métodos numéricos de raízes. Vamos precisar:
• A noção de intervalo onde muda de sinal (teorema do valor intermediário)
• Fórmula do método da bissecção
• Fórmula do método de Newton, que exige
• Fórmula da secante

Passo 2

Primeiro, definimos
f(x)=x+1-2sin(pi x), f'(x)=1-2picos(pi x)
E o critério de parada em todos os métodos será ou .

Passo 3

Método da bissecção no intervalo x1approx0.2059000(com erro<10^-7)
  1. Verificamos e . Tem raiz dentro.
  2. A cada iteração, tomamos , avaliamos .
  3. Se , nova busca em ; senão em .
  4. Repetimos até .
Fazendo isso (uns ~25 passos) chega-se a

Passo 4

Método de Newton–Raphson para a mesma raiz
  1. Escolhemos um chute inicial dentro do intervalo, digamos xn+1=xn-f(xn)f'(xn) .
  2. Usamos a iteração
x1approx0.2059000(erro<10^-7)
  1. Calculamos e conforme definimos, e iteramos até .
Em poucas iterações (4–5 passos) obtemos

Passo 5

Método da secante para a mesma raiz
  1. Precisamos de dois chutes iniciais, por exemplo xn+1=xn-;f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1) e x1approx0.2059000(erro<10^-7) .
  2. Iteramos pela fórmula
  1. Paramos quando .
Também converge em poucas iterações para

Passo 6

Agora, método da bissecção no intervalo x2approx0.6823900(erro<10^-7)
  1. , . Há raiz.
  2. Mesma rotina de divisão de intervalo até .
Chegamos a

Passo 7

Newton–Raphson para a raiz em x2approx0.6823900(erro<10^-7)
  1. Chute inicial .
  2. Iteração .
  3. Para .
Em ~4 iterações dá

Passo 8

Secante para o intervalo x2approx0.6823900(erro<10^-7)
  1. Chutes iniciais , .
  2. .
  3. Parada em .
Também alcança

Resposta

Raízes de boxedx1approx0.2059000, x2approx0.6823900 com precisão :

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