Utilize todos os três métodos desta seção para encontrar soluções com precisão de
para os problemas a seguir.
para
e para
Passo 1
Então, a questão pede pra gente achar as soluções da função
em dois intervalos:
-
-
com precisão de, usando os três métodos da disciplina:
- Bissecção
- Newton–Raphson
- Secante
O conteúdo aqui é métodos numéricos de raízes. Vamos precisar:
• A noção de intervalo onde muda de sinal (teorema do valor intermediário)
• Fórmula do método da bissecção
• Fórmula do método de Newton, que exige
• Fórmula da secante
• A noção de intervalo onde
• Fórmula do método da bissecção
• Fórmula do método de Newton, que exige
• Fórmula da secante
Passo 2
Primeiro, definimos
E o critério de parada em todos os métodos será
ou
.
Passo 3
Método da bissecção no intervalo
- Verificamos
e . Tem raiz dentro. - A cada iteração, tomamos
, avaliamos . - Se
, nova busca em ; senão em . - Repetimos até
.
Fazendo isso (uns ~25 passos) chega-se a
Passo 4
Método de Newton–Raphson para a mesma raiz
- Escolhemos um chute inicial dentro do intervalo, digamos
. - Usamos a iteração
- Calculamos
e conforme definimos, e iteramos até .
Em poucas iterações (4–5 passos) obtemos
Passo 5
Método da secante para a mesma raiz
- Precisamos de dois chutes iniciais, por exemplo
e . - Iteramos pela fórmula
- Paramos quando
.
Também converge em poucas iterações para
Passo 6
Agora, método da bissecção no intervalo
-
, . Há raiz. - Mesma rotina de divisão de intervalo até
.
Chegamos a
Passo 7
Newton–Raphson para a raiz em
- Chute inicial
. - Iteração
. - Para
.
Em ~4 iterações dá
Passo 8
Secante para o intervalo
- Chutes iniciais
, . -
. - Parada em
.
Também alcança
Resposta
Raízes de
com precisão
: