Utilize polinômios interpoladores de Lagrange de graus um, dois e três adequados para aproximar cada um dos seguintes:
b. f(-\frac{1}{3}) se f(-0,75)=-0,07181250, f(-0,5)=-0,02475000, f(-0,25)=0,33493750, f(0)= 1,10100000

Passo 1

O enunciado pede para aproximar f\bigl(-\tfrac13\bigr) usando polinômios interpoladores de Lagrange de grau um, dois e três, a partir dos pontos
(-0,75,\,-0,07181250),\quad(-0,5,\,-0,02475000),\quad(-0,25,\,0,33493750),\quad(0,\,1,10100000).
Vamos escolher os nós mais próximos de x_0=-\tfrac13\approx-0,3333 para cada grau e depois aplicar as fórmulas de Lagrange.

Passo 2

Para grau 1 escolhemos os dois nós mais próximos de -\tfrac13, isto é x_1=-0,5 e x_2=-0,25. O interpolador linear é
p_1(x)=f(x_1)\,\frac{x-x_2}{x_1-x_2}+f(x_2)\,\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.
Substituindo x=-\tfrac13, f(x_1)=-0,02475, f(x_2)=0,3349375, x_1-x_2=-0,25:
p_1\Bigl(-\tfrac13\Bigr) =-0,02475\;\frac{-\tfrac13-(-0,25)}{-0,25} +0,3349375\;\frac{-\tfrac13-(-0,5)}{0,25} =-0,00825+0,22329167\approx0,21504167.

Passo 3

Para grau 2 usamos três nós mais próximos: x_1=-0,5, x_2=-0,25, x_3=0. O interpolador quadrático é
p_2(x)=\sum_{j=1}^3 f(x_j)\prod_{\substack{k=1 \\\ k\neq j}}^3\frac{x-x_k}{x_j-x_k}.
Calculando em x=-\tfrac13 aparece
p_2\Bigl(-\tfrac13\Bigr) \approx(-0,02475)\cdot0,22222222 +0,3349375\cdot0,88888889 +1,101\cdot(-0,11111111) \approx0,16988889.

Passo 4

Para grau 3 usamos todos os quatro nós. É mais conveniente montar o polinômio na forma de Newton com diferenças divididas. Obtém-se
p_3\Bigl(-\tfrac13\Bigr)\approx0,1745186.

Resposta

p_1(-\tfrac13)\approx0,21504
p_2(-\tfrac13)\approx0,16989
p_3(-\tfrac13)\approx0,17452

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