Deseja-se obter a área sob a curva y=f(x) de x=0 à x=5, que é calculada pela integral
A=\int_{0}^{5} e^{-x+\operatorname{tgh}(\mathrm{x})} d x
Entretanto, esta integral não possui solução exata (analítica), sendo necessária a utilização de métodos numéricos. Portanto, aproxime a função f(x) por um polinômio interpolador de grau 2 (dois), utilizando os nós de interpolação x_{0}= 0,3349, x_{1}=2,50 e x_{2}=4,6650 para aproximar a área sob o gráfico de f(x) por \int_{0}^{5} P_{2}(x) d x. Trabalhe com quatro casas decimais e arredondamento padrão.

Passo 1

O enunciado pede a área
A = \int_{0}^{5} e^{-x + \operatorname{tanh}(x)}\,dx
mas como não há solução analítica, vamos aproximar f(x)=e^{-x+\operatorname{tanh}(x)} por um polinômio interpolador de grau 2 em três nós x_{0}=0{,}3349, x_{1}=2{,}50 e x_{2}=4{,}6650. Depois integraremos esse polinômio de 0 a 5. Precisaremos:
  1. Calcular f(x_{i}) em cada nó.
  2. Obter o polinômio P_{2}(x)=a x^{2}+b x + c que satisfaz P_{2}(x_{i})=f(x_{i}).
  3. Integrar P_{2}(x) de 0 a 5.

Passo 2

Calculando \operatorname{tanh} e f em cada nó (quatro casas decimais): \operatorname{tanh}(0{,}3349)\approx0{,}3236 -0{,}3349+0{,}3236=-0{,}0113
f(x_{0})=e^{-0{,}0113}\approx0{,}9888 \operatorname{tanh}(2{,}50)\approx0{,}9866 -2{,}50+0{,}9866=-1{,}5134
f(x_{1})=e^{-1{,}5134}\approx0{,}2205 \operatorname{tanh}(4{,}6650)\approx0{,}9998 -4{,}6650+0{,}9998=-3{,}6652
f(x_{2})=e^{-3{,}6652}\approx0{,}0256

Passo 3

Vamos achar a,b,c tal que
\begin{cases} a\,(0{,}3349)^{2}+b\,(0{,}3349)+c=0{,}9888,\\\ a\,(2{,}50)^{2}+b\,(2{,}50)+c=0{,}2205,\\\ a\,(4{,}6650)^{2}+b\,(4{,}6650)+c=0{,}0256. \end{cases}
Resolvendo esse sistema por eliminação (com arredondamento a quatro casas em cada coeficiente) obtemos
a\approx0{,}0612,\quad b\approx-0{,}5283,\quad c\approx1{,}1588.

Passo 4

Integramos
P_{2}(x)=0{,}0612\,x^{2}-0{,}5283\,x+1{,}1588
de 0 a 5:
\int_{0}^{5}P_{2}(x)\,dx =\Bigl[\tfrac{0{,}0612}{3}x^{3}-\tfrac{0{,}5283}{2}x^{2}+1{,}1588\,x\Bigr]_{0}^{5}.
Calculando termo a termo:
\tfrac{0{,}0612}{3}\,5^{3}=2{,}5500,\quad -\tfrac{0{,}5283}{2}\,5^{2}=-6{,}6038,\quad 1{,}1588\times5=5{,}7940.
Somando:
A\approx2{,}5500-6{,}6038+5{,}7940=1{,}7402.

Resposta

A área aproximada é 1{,}7402.

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