Deseja-se obter a área sob a curva y=f(x) de x=0 à x=5, que é calculada pela integral
A=\int_{0}^{5} e^{-x+\operatorname{tgh}(\mathrm{x})} d x
Entretanto, esta integral não possui solução exata (analítica), sendo necessária a utilização de métodos numéricos. Portanto, aproxime a função f(x) por um polinômio interpolador de grau 2 (dois), utilizando os nós de interpolação x_{0}= 0,3349, x_{1}=2,50 e x_{2}=4,6650 para aproximar a área sob o gráfico de f(x) por \int_{0}^{5} P_{2}(x) d x. Trabalhe com quatro casas decimais e arredondamento padrão.
Passo 1
O enunciado pede a área
A = \int_{0}^{5} e^{-x + \operatorname{tanh}(x)}\,dx
mas como não há solução analítica, vamos aproximar f(x)=e^{-x+\operatorname{tanh}(x)} por um polinômio interpolador de grau 2 em três nós x_{0}=0{,}3349, x_{1}=2{,}50 e x_{2}=4{,}6650. Depois integraremos esse polinômio de 0 a 5. Precisaremos:
Calcular f(x_{i}) em cada nó.
Obter o polinômio P_{2}(x)=a x^{2}+b x + c que satisfaz P_{2}(x_{i})=f(x_{i}).
Integrar P_{2}(x) de 0 a 5.
Passo 2
Calculando \operatorname{tanh} e f em cada nó (quatro casas decimais): \operatorname{tanh}(0{,}3349)\approx0{,}3236 ⇒ -0{,}3349+0{,}3236=-0{,}0113 ⇒