Utilize polinômios interpoladores de Lagrange de graus um, dois e três adequados para aproximar cada um dos seguintes:
a. f(8,4) se f(8,1)=16,94410, f(8,3)=17,56492, f(8,6)=18,50515, f(8,7)=18,82091

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \,f(8,4) usando interpolação de Lagrange em função de y, mantendo x=8 fixo. Temos os valores
\,f(8,1)=16{,}94410,
\,f(8,3)=17{,}56492,
\,f(8,6)=18{,}50515
e
\,f(8,7)=18{,}82091.
Vamos construir os polinômios de graus 1, 2 e 3 em y e avaliá-los em y=4.

Passo 2

Para o grau 1 escolhemos os dois nós mais próximos de y=4, que são y_1=3 e y_2=6. O polinômio de Lagrange é
P_1(y)=f(8,3)\,+\frac{f(8,6)-f(8,3)}{6-3}\,(y-3).
Em y=4 isso dá
P_1(4)=17{,}56492 \;+\;\frac{18{,}50515-17{,}56492}{3}\,(1) =17{,}56492+0{,}94023/3 \approx17{,}87833.

Passo 3

Para o grau 2 usamos três nós, por exemplo y_0=1, y_1=3, y_2=6. O polinômio de Lagrange em y é
P_2(4) =\sum_{j=0}^{2}f(8,y_j)\, \prod_{\substack{i=0\i\neq j}}^{2}\frac{4-y_i}{y_j-y_i}.
Calculando cada termo:
\begin{aligned} L_0(4)&=\frac{(4-3)(4-6)}{(1-3)(1-6)}=-0,2, &f(8,1)\,L_0(4)=-3{,}38882,\\\ L_1(4)&=\frac{(4-1)(4-6)}{(3-1)(3-6)}=1, &f(8,3)\,L_1(4)=17{,}56492,\\\ L_2(4)&=\frac{(4-1)(4-3)}{(6-1)(6-3)}=0,2, &f(8,6)\,L_2(4)=3{,}70103. \end{aligned}
Somando,
P_2(4)\approx -3{,}38882+17{,}56492+3{,}70103=17{,}87713.

Passo 4

Para o grau 3 usamos os quatro nós y_0=1, y_1=3, y_2=6, y_3=7. Em y=4:
P_3(4)=\sum_{j=0}^{3}f(8,y_j)\, \prod_{\substack{i=0\i\neq j}}^{3}\frac{4-y_i}{y_j-y_i}.
Calculando cada coeficiente:
\begin{aligned} L_0(4)&=-0,1, &f(8,1)\,L_0(4)=-1{,}69441,\\\ L_1(4)&=0,75, &f(8,3)\,L_1(4)=13{,}17369,\\\ L_2(4)&=0,6, &f(8,6)\,L_2(4)=11{,}10309,\\\ L_3(4)&=-0,25, &f(8,7)\,L_3(4)=-4{,}70523. \end{aligned}
Somando,
P_3(4)\approx -1{,}69441+13{,}17369+11{,}10309-4{,}70523=17{,}87714.

Resposta

Grau 1: 17{,}87833
Grau 2: 17{,}87713
Grau 3: 17{,}87714

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