Utilize polinômios interpoladores de Lagrange de graus um, dois e três adequados para aproximar cada um dos seguintes:
c. f(0,18) se f(0,1)=-0,29004986, f(0,2)=-0,56079734, f(0,3)=-0,81401972, f(0,4)= -1,0526302

Passo 1

O enunciado pede aproximar \,f(0.18) usando polinômios interpoladores de Lagrange de grau um, dois e três, a partir dos pontos
(0.1,\,-0.29004986), (0.2,\,-0.56079734), (0.3,\,-0.81401972) e (0.4,\,-1.0526302).
O conteúdo é interpolação polinomial, aplicando a fórmula de Lagrange.

Passo 2

Para o grau um escolhemos os dois pontos mais próximos de x=0.18, ou seja x_0=0.1 e x_1=0.2. O polinômio de Lagrange é
P_1(x)=f(x_0)\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+f(x_1)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}.
Substituindo,
P_1(0.18) =-0.29004986\frac{0.18-0.2}{0.1-0.2} +(-0.56079734)\frac{0.18-0.1}{0.2-0.1} \approx -0.506648.

Passo 3

Para o grau dois usamos os três pontos (0.1,-0.29004986), (0.2,-0.56079734) e (0.3,-0.81401972). Denotando x_0=0.1, x_1=0.2, x_2=0.3, o interpolador é
P_2(x) =\sum_{i=0}^{2}f(x_i)\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Ao avaliar em x=0.18 obtém-se
P_2(0.18)\approx -0.508049.

Passo 4

Para o grau três usamos todos os quatro pontos, com x_3=0.4. O polinômio é
P_3(x) =\sum_{i=0}^{3}f(x_i)\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Avaliando em x=0.18 resulta
P_3(0.18)\approx -0.508143.

Resposta

P_1(0.18)\approx -0.506648
P_2(0.18)\approx -0.508049
P_3(0.18)\approx -0.508143

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