Utilize polinômios interpoladores de Lagrange de graus um, dois e três adequados para aproximar cada um dos seguintes:
d. f(0,25) se f(-1)=0,86199480, f(-0,5)=0,95802009, f(0)=1,0986123, f(0,5)=1,2943767

Passo 1

O enunciado pede para aproximar f(0,25) usando polinômios interpoladores de Lagrange de grau 1, 2 e 3, dados os pontos
f(-1)=0,86199480,\quad f(-0,5)=0,95802009,\quad f(0)=1,0986123,\quad f(0,5)=1,2943767.
O conteúdo necessário é a fórmula de Lagrange
P_n(x)=\sum_{i=0}^n f(x_i)\,\ell_i(x),
onde
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j},
e depois avaliar P_n(0,25).

Passo 2

Grau 1: escolhemos os pontos mais próximos de 0,25, que são x_0=0, x_1=0,5.
Os polinômios básicos em x=0,25 são
\ell_0(0,25)=\frac{0,25-0,5}{0-0,5}=0,5,\qquad \ell_1(0,25)=\frac{0,25-0}{0,5-0}=0,5.
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P_1(0,25)=f(0)\,\ell_0(0,25)+f(0,5)\,\ell_1(0,25) =1,0986123\cdot0,5+1,2943767\cdot0,5=1,1964945.

Passo 3

Grau 2: usamos os pontos x_0=-0,5, x_1=0, x_2=0,5. Em x=0,25 temos
\ell_0(0,25)=\frac{(0,25-0)(0,25-0,5)}{(-0,5-0)(-0,5-0,5)}=-0,125,
\ell_1(0,25)=\frac{(0,25+0,5)(0,25-0,5)}{(0+0,5)(0-0,5)}=0,75,
\ell_2(0,25)=\frac{(0,25+0,5)(0,25-0)}{(0,5+0,5)(0,5-0)}=0,375.
Então
P_2(0,25)=0,95802009\cdot(-0,125)+1,0986123\cdot0,75+1,2943767\cdot0,375 =1,1895980.

Passo 4

Grau 3: usamos x_0=-1, x_1=-0,5, x_2=0, x_3=0,5. Em x=0,25 obtemos
\ell_0(0,25)=0,0625,\quad \ell_1(0,25)=-0,3125,\quad \ell_2(0,25)=0,9375,\quad \ell_3(0,25)=0,3125.
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P_3(0,25)=0,86199480\cdot0,0625+0,95802009\cdot(-0,3125) +1,0986123\cdot0,9375+1,2943767\cdot0,3125 =1,1889351.

Resposta

P_1(0,25)\approx1,1964945
P_2(0,25)\approx1,1895980
P_3(0,25)\approx1,1889351

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