Calcular a raíz da função f(x)=x^3-10 com erro menor igual a 0,1 no intervalo [2,3].

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz da função
f(x)=x^3-10
no intervalo [2,3] usando o método da bisseção, de modo que o erro seja no máximo 0,1. Para isso vamos:
– Verificar que f(2) e f(3) têm sinais opostos.
– Aplicar sucessivas divisões do intervalo, escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal.
– Parar quando a largura do intervalo for menor ou igual a 0,2, pois então o erro (metade dessa largura) será <=0,1.

Passo 2

O método da bisseção funciona assim: se f(a)cdot f(b)<0, existe uma raiz em (a,b). Calculamos o ponto médio
m=a+b2
e avaliamos f(m). Se f(a)cdot f(m)<0, a raiz está em [a,m]; caso contrário, está em [m,b]. A cada iteração a largura do intervalo inicial (b-a) é dividida por 2, e o erro na aproximação pela bisseção é no máximo metade da largura do intervalo corrente.

Passo 3

Calculamos os valores iniciais:
f(2)=2^3-10=-2,
f(3)=3^3-10=17
Como -2cdot17<0, há raiz em [2,3].

Passo 4

1ª iteração:
m1=2+32=2,5,
f(2,5)=2,5^3-10=15,625-10=5,625
Como f(2)cdot f(2,5)<0, escolhemos o subintervalo [2,2,5]. A largura é 0,5.

Passo 5

2ª iteração:
m2=2+2,52=2,25,
f(2,25)=2,25^3-10=11,390625-10=1,390625
Como f(2)cdot f(2,25)<0, o novo intervalo é [2,2,25]. A largura é 0,25.

Passo 6

3ª iteração:
m3=2+2,252=2,125,
f(2,125)=2,125^3-10=9,595703125-10=-0,404296875
Agora f(2,125)<0 e f(2,25)>0, logo a raiz está em [2,125,2,25]. A largura desse intervalo é
2,25-2,125=0,125<=0,2,
portanto o erro na aproximação (metade da largura) é <=0,0625<0,1. Podemos parar.

Resposta

A raiz aproximada pela bisseção é
xapprox2,125+2,252=2,1875
com erro menor que 0,1.

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