1. a. Utilize o Teorema 2.3 para mostrar que a sequiência definida por
xn=12 xn-1+1xn-1, para n >= 1,
converge para raiz2 sempre que x0>raiz2.
b. Use o fato de que x0 neq raiz2 sempre que 0 para mostrar que se x1>raiz2 então raiz2.
c. Use os resultados das partes (a) e (b) para mostrar que a seqüência em (a) converge para x0>0, sempre que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a sequência
xn = tfrac12,xn-1 + tfrac1xn-1, n>=1,
temos sempre que . A matéria envolvida é Análise de Sequências e vamos usar o Teorema 2.3 (Monotonia + Limite → Convergência) e argumentos algébricos para:
  • (a) provar convergência se ,
  • (b) mostrar que, se , então já em ultrapassamos ,
  • © juntar (a) e (b) para todo .
A partir de agora, resolve­mos passo a passo.

Passo 2

Parte (a): suponha f(x)-x = 12x + 1x - x = -12x + 1x = 1 - tfrac12x^2x . Defina x1 = f(x0) < x0, x2 = f(x1).
  1. Monotonia: calculamos
f(x)-raiz2 = 12x + 1x - raiz2 = x^2 + 2 - 2raiz2,x2x = (x-raiz2)^22x>0
Se raiz2 < xn < xn-1<= x0 , então L = tfrac12L + 1L Longrightarrow L^2 = 2 Longrightarrow L=raiz2 ;(L>0) . Como , segue , ou seja . Logo,
e a sequência é estritamente decrescente.
  1. Limitada abaixo: ainda para , note
Ou seja . Então toda a sequência fica entre e :
  1. Conclusão (Teorema 2.3): como é decrescente e limitada abaixo, ela converge. Seja . Passando ao limite na definição

Passo 3

Parte (b): agora suponha x1-raiz2 = 12x0 + 1x0 - raiz2 = (x0-raiz2)^22x0 . Então
Como garante e , temos . Logo .

Passo 4

Parte ©: para qualquer temos dois casos:
  • Se , a parte (a) diz que .
  • Se , a parte (b) mostra e daí, a partir de , cai no caso da parte (a) (com nova “semente” ).
Em ambos os cenários, a sequência converge para .

Resposta

Para todo xn=12,xn-1+1xn-1 , a sequência
converge e tem como limite .

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