- a. Utilize o Teorema 2.3 para mostrar que a sequiência definida por
converge para
sempre que
.
b. Use o fato de que
sempre que
para mostrar que se
então
.
c. Use os resultados das partes (a) e (b) para mostrar que a seqüência em (a) converge para
, sempre que
.
b. Use o fato de que
c. Use os resultados das partes (a) e (b) para mostrar que a seqüência em (a) converge para
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para a sequência
temos
sempre que
. A matéria envolvida é Análise de Sequências e vamos usar o Teorema 2.3 (Monotonia + Limite → Convergência) e argumentos algébricos para:
- (a) provar convergência se
, - (b) mostrar que, se
, então já em ultrapassamos , - © juntar (a) e (b) para todo
.
A partir de agora, resolvemos passo a passo.
Passo 2
Parte (a): suponha
. Defina
.
- Monotonia: calculamos
Se
, então
. Como
, segue
, ou seja
. Logo,
e a sequência é estritamente decrescente.
- Limitada abaixo: ainda para
, note
Ou seja
. Então toda a sequência fica entre
e
:
- Conclusão (Teorema 2.3): como
é decrescente e limitada abaixo, ela converge. Seja . Passando ao limite na definição
Passo 3
Parte (b): agora suponha
. Então
Como
garante
e
, temos
. Logo
.
Passo 4
Parte ©: para qualquer
temos dois casos:
- Se
, a parte (a) diz que . - Se
, a parte (b) mostra e daí, a partir de , cai no caso da parte (a) (com nova “semente” ).
Em ambos os cenários, a sequência converge para
.
Resposta
Para todo
, a sequência
converge e tem como limite
.