(17.) O polinômio de quarto grau
tem dois zeros reais, um em
e outro em
. Tente encontrar a aproximação desses zeros com a precisão de
, utilizando os seguintes métodos:
a. Método da Falsa Posição,
b. Método da Secante,
c. Método de Newton.
[Utilize as extremidades de cada intervalo como aproximações iniciais em (a) e (b) e os pontos médios como as aproximações iniciais em ©.
a. Método da Falsa Posição,
b. Método da Secante,
c. Método de Newton.
[Utilize as extremidades de cada intervalo como aproximações iniciais em (a) e (b) e os pontos médios como as aproximações iniciais em ©.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar, com erro até 10⁻⁶, os dois zeros reais do polinômio
que estão em e em
. Vamos usar três métodos numéricos:
a) Falsa Posição (Regula Falsi),
b) Secante,
c) Newton.
que estão em
a) Falsa Posição (Regula Falsi),
b) Secante,
c) Newton.
O que precisamos saber:
- Como testar sinal de
e pra garantir que haja raiz em . - Fórmulas de iteração de cada método.
- Critério de parada:
.
Passo 2
Método da Falsa Posição
Teoria resumida: se e
têm sinais opostos há pelo menos uma raiz em
. A cada passo calculamos
Teoria resumida: se
que é a interseção da reta que liga
a
com o eixo
. Depois substituímos
ou
pelo novo
, mantendo sempre um intervalo com sinais opostos.
a) Raiz em
Vamos anotar .
Vamos anotar
-
, ; , .
, .
Comoe têm sinais opostos, trocamos , . -
, ;
, .
Sinal deé igual ao de , então trocamos . - Continuando assim até
, em 8 iterações chega-se a
.
b) Raiz em
-
, ; , .
, → troca . -
, ;
, → troca . -
, ;
, → troca . - Mais 2 passos e em 6 iterações chega-se a
.
Passo 3
Método da Secante
Teoria: não precisamos de intervalo fechado, só de duas aproximações iniciais . A iteração é
Teoria: não precisamos de intervalo fechado, só de duas aproximações iniciais
a) Raiz em
, tomamos
,
.
-
-
-
-
→ .
b) Raiz em
,
,
.
-
-
-
-
→ .
Passo 4
Método de Newton
Teoria: usa o polinômio e sua derivada
Teoria: usa o polinômio e sua derivada
e a fórmula
Pra cada raiz a inicial é o ponto médio do intervalo.
a) Raiz em
, tomo
.
-
-
-
→ .
b) Raiz em
, tomo
.
-
-
-
→ converge rapidinho.
Resposta
As duas raízes aproximadas, com precisão
, são:
Método | Raiz 1 (em
|
Raiz 2 (em
|
---|---|---|
Falsa Posição |
|
|
Secante |
|
|
Newton |
|
|