(17.) O polinômio de quarto grau
f(x)=230 x^4+18 x^3+9 x^2-221 x-9
tem dois zeros reais, um em [-1,0] e outro em [0,1]. Tente encontrar a aproximação desses zeros com a precisão de 10^-6, utilizando os seguintes métodos:
a. Método da Falsa Posição,
b. Método da Secante,
c. Método de Newton.
[Utilize as extremidades de cada intervalo como aproximações iniciais em (a) e (b) e os pontos médios como as aproximações iniciais em ©.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar, com erro até 10⁻⁶, os dois zeros reais do polinômio

que estão em e em . Vamos usar três métodos numéricos:
a) Falsa Posição (Regula Falsi),
b) Secante,
c) Newton.
O que precisamos saber:
  • Como testar sinal de e pra garantir que haja raiz em .
  • Fórmulas de iteração de cada método.
  • Critério de parada: .

Passo 2

Método da Falsa Posição
Teoria resumida: se c ;=;a,f(b)-b,f(a)f(b)-f(a), e têm sinais opostos há pelo menos uma raiz em . A cada passo calculamos
que é a interseção da reta que liga a com o eixo . Depois substituímos ou pelo novo , mantendo sempre um intervalo com sinais opostos.
a) Raiz em
Vamos anotar .
  1. , ; , .
    , .
    Como e têm sinais opostos, trocamos , .
  2. , ;
    , .
    Sinal de é igual ao de , então trocamos .
  3. Continuando assim até , em 8 iterações chega-se a
    .
b) Raiz em
  1. , ; , .
    , → troca .
  2. , ;
    , → troca .
  3. , ;
    , → troca .
  4. Mais 2 passos e em 6 iterações chega-se a
    .

Passo 3

Método da Secante
Teoria: não precisamos de intervalo fechado, só de duas aproximações iniciais xn+1 =xn-;f(xn),xn-xn-1,f(xn)-f(xn-1), . A iteração é
a) Raiz em , tomamos , .
  1. .
b) Raiz em , , .
  1. .

Passo 4

Método de Newton
Teoria: usa o polinômio e sua derivada
f'(x)=920x^3+54x^2+18x-221,
e a fórmula
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Pra cada raiz a inicial é o ponto médio do intervalo.
a) Raiz em , tomo .
  1. .
b) Raiz em , tomo .
  1. → converge rapidinho.

Resposta

As duas raízes aproximadas, com precisão , são:
Método Raiz 1 (em ) Raiz 2 (em )
Falsa Posição
Secante
Newton

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