Dado o número 132,47 , encontre sua representação na base 2 usando 8 dígitos significativos. Tal representação é exata?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede: encontrar a representação do número decimal 132{,}47 na base 2 usando 8 dígitos significativos.
Pede também: dizer se essa representação é exata.
Interpretação adotada (escolha necessária): vou interpretar “8 dígitos significativos” como 8 dígitos binários significativos na mantissa normalizada (ou seja, representação na forma 1.\text{mantissa}\times 2^{e} com 8 bits na parte significativa, contando o 1 inicial). Esta é a interpretação usual quando se fala em “dígitos significativos” em base binária (como em ponto flutuante).
Informação dada: o número decimal é 132{,}47. Não foi enviada imagem ou tabela.
Passo 2
Converter a parte inteira 132 para binário (passo a passo).
Um modo rápido: decompor em potências de 2. As potências relevantes perto de 132 são 2^{7}=128, 2^{2}=4. Logo
132 = 128 + 4 = 2^{7} + 2^{2}.
Escrevendo os bits das posições de 2^{7} a 2^{0} obtemos
132_{10} = 10000100_{2}.
Explicação dos dígitos: bit de 2^{7} é 1, bits de 2^{6},2^{5},2^{4},2^{3} são 0, bit de 2^{2} é 1, bits de 2^{1},2^{0} são 0.
Passo 3
Converter a parte fracionária 0{,}47 para binário usando multiplicação por 2 repetida (método padrão).
Regra: multiplicar a parte fracionária por 2; a parte inteira do resultado (0 ou 1) é o próximo dígito binário fracionário; repetir com a nova fracção.
Fazendo as multiplicações (mostrando resultado, dígito gerado e nova fracção):
0{,}47\cdot2=0{,}94 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}94.
0{,}94\cdot2=1{,}88 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}88.
0{,}88\cdot2=1{,}76 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}76.
0{,}76\cdot2=1{,}52 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}52.
0{,}52\cdot2=1{,}04 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}04.
0{,}04\cdot2=0{,}08 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}08.
0{,}08\cdot2=0{,}16 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}16.
0{,}16\cdot2=0{,}32 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}32.
0{,}32\cdot2=0{,}64 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}64.
0{,}64\cdot2=1{,}28 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}28.
0{,}28\cdot2=0{,}56 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}56.
0{,}56\cdot2=1{,}12 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}12.
0{,}12\cdot2=0{,}24 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}24.
0{,}24\cdot2=0{,}48 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}48.
0{,}48\cdot2=0{,}96 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}96.
0{,}96\cdot2=1{,}92 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}92.
0{,}92\cdot2=1{,}84 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}84.
0{,}84\cdot2=1{,}68 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}68.
0{,}68\cdot2=1{,}36 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}36.
0{,}36\cdot2=0{,}72 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}72.
0{,}72\cdot2=1{,}44 \Rightarrow dígito 1, nova fracção 0{,}44.
0{,}44\cdot2=0{,}88 \Rightarrow dígito 0, nova fracção 0{,}88.
Observação: a partir do passo 2 a nova fracção 0{,}88 reaparece no passo 22, então a expansão fracionária em binário é periódica (repete com período 20 a partir desse ponto). Portanto a parte fracionária em binário não termina: é uma expansão periódica.
Os primeiros bits fracionários obtidos (da posição 2^{-1} em diante) são:
0{,}47_{10} \approx 0{,}01111100001\ldots_2
onde escrevi os bits na ordem gerada: primeiro bit (peso 2^{-1}) é 0, segundo (peso 2^{-2}) é 1, etc., e a sequência continua periodicamente.
Passo 4
Juntar parte inteira e fracionária: com os resultados acima temos a expansão binária completa (não terminada)
132{,}47_{10} = 10000100{.}01111100001\ldots_2.
Como visto, a parte fracionária é periódica (não termina), portanto a representação binária exata tem infinitos dígitos à direita da vírgula.
Passo 5
Passar para forma normalizada e preparar para aplicar os 8 dígitos significativos.
Normalização: deslocar o ponto binário para obter um único 1 à esquerda:
Explicando: como 10000100_2 tem o bit 1 em 2^{7}, desloca-se o ponto 7 posições para a esquerda; a mantissa começa com 1 seguida dos bits restantes do inteiro e, depois, dos bits fracionários.
A mantissa completa é
1{.}0000100\,01111100001\ldots_2
onde os primeiros sete bits após o ponto (vindos da parte inteira) são 0,0,0,0,1,0,0 e depois vêm os bits do fracionário que calculamos.
Passo 6
Aplicar a restrição “8 dígitos significativos” e arredondar.
Interpretação operacional: 8 dígitos significativos em base 2 significa manter 8 bits na significand (contando o 1 inicial). Então mantemos 1 + 7 bits depois do ponto.
O próximo bit (bit usado para decidir arredondamento, chamado “guard bit”) é o primeiro bit da parte fracionária que veio depois desses 7: ele é 0 (veja o passo 3, o primeiro bit fracionário foi 0). Como o guard bit é 0, o arredondamento para mais próximo deixa os bits como estão (arredondamento “para mais próximo, empates para o par” reduz-se aqui a não aumentar a mantissa).
Portanto a mantissa com 8 bits significativos fica
1{.}0000100_2
e a representação normalizada com 8 bits significativos é
1{.}0000100_2 \times 2^{7}.
Se expandirmos isso para forma usual sem normalizar, obtemos simplesmente
10000100_2 = 132_{10}.
Ou seja, com apenas 8 dígitos significativos a representação aproxima 132{,}47 por exatamente 132 (a parte fracionária foi perdida por falta de precisão).
Passo 7
Responder se a representação é exata e por quê.
A parte fracionária 0{,}47 em decimal é 47/100. Escrevendo em forma irreduzível:
Uma fração tem expansão finita em base 2 somente se o denominador, na forma reduzida, for potência de 2 (ou seja, não pode ter fatores primos além de 2). Aqui o denominador tem fator 5, logo a expansão binária é infinita periódica — nunca termina.
Conclusão: qualquer representação binária finita (com número finito de bits) é necessariamente uma aproximação. Portanto a representação em base 2 de 132{,}47 é inexata; com 8 dígitos significativos obtemos a aproximação 1{.}0000100_2\times 2^{7} (que vale 132).
Resposta
1{.}0000100_{2}\times 2^{7}
Não — a representação não é exata (a parte fracionária 0{,}47 gera expansão binária periódica).