02- Calcular numèricamente o valor da integral definida
I=\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x \operatorname{sen} x d x
usando:
a) a regra trapezoidal
b) a regra parabólica
c) Em cada item a) e b), estimar o erro máximo.
Em ambos os casos dividir o intervalo de integração em 8 partes iguais e confrontar o resultado obtido com o valor exato \frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar numericamente a integral
I = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}x\,\sin x \,dx
usando a regra trapezoidal e a regra parabólica (Simpson), dividindo o intervalo [0,\pi/2] em n=8 subintervalos iguais, e em cada caso estimar o erro máximo teórico. O valor exato é
I_{\text{exato}} = \frac{1}{3}.

Passo 2

Definimos
h = \frac{b - a}{n} = \frac{\pi/2 - 0}{8} = \frac{\pi}{16}\approx 0,19635.
Os nós são x_i = i\,h para i=0,\dots,8, e a função é
f(x) = \cos^{2}x\,\sin x.
Calculando numericamente: f_0=f(0)=0, f_1=f(\pi/16)\approx0{,}1877, f_2=f(\pi/8)\approx0{,}3268, f_3=f(3\pi/16)\approx0{,}3842, f_4=f(\pi/4)\approx0{,}3536, f_5=f(5\pi/16)\approx0{,}2566, f_6=f(3\pi/8)\approx0{,}1353, f_7=f(7\pi/16)\approx0{,}0374, f_8=f(\pi/2)=0.

Passo 3

Aplicando a regra trapezoidal:
T_{8} = h\Bigl(\tfrac{f_0+f_8}{2} + \sum_{i=1}^{7}f_i\Bigr) = \frac{\pi}{16}\bigl(0 + 1{,}6816\bigr) \approx 0{,}33035.
O erro absoluto é
|T_{8}-I_{\text{exato}}| \approx |0{,}33035 - 0{,}33333| =0{,}00298.

Passo 4

Para a regra trapezoidal o erro máximo satisfaz
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\;M_{2},
onde f''(x)=9\sin^{3}x -7\sin x e
M_{2} = \max_{[0,\pi/2]}|f''(x)|\approx2{,}377.
Logo
|E_T|\le \frac{(\pi/2)^3}{12\cdot8^2}\,2{,}377 \approx0{,}012.

Passo 5

Aplicando a regra parabólica (Simpson):
S_{8} = \frac{h}{3}\Bigl(f_0+f_8+4\sum_{i\text{ ímpar}}f_i+2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,8}f_i\Bigr).í
Temos \sum_{ímpares}f_i=0{,}8659í e \sum_{pares}f_i=0{,}8157, então
S_{8} = \frac{\pi/16}{3}\bigl(0 + 4\cdot0{,}8659 + 2\cdot0{,}8157\bigr) \approx0{,}333397.
O erro absoluto é
|S_{8}-I_{\text{exato}}| \approx |0{,}333397 - 0{,}333333| =0{,}000064.

Passo 6

Para Simpson o erro máximo satisfaz
|E_S|\le \frac{(b-a)^5}{180\,n^4}\;M_{4},
onde
f''''(x)=\sin x\,(61-81\sin^2 x),
M_{4} = \max_{[0,\pi/2]}|f''''(x)|\approx20{,}4.
Logo
|E_S|\le \frac{(\pi/2)^5}{180\cdot8^4}\,20{,}4 \approx2{,}65\times 10^{-4}.

Resposta

a) Regra trapezoidal: I_T\approx0{,}33035, erro real \approx0{,}00298, erro máximo estimado \le0{,}012.
b) Regra parabólica (Simpson): I_S\approx0{,}333397, erro real \approx6{,}4\times10^{-5}, erro máximo estimado \le2{,}65\times10^{-4}.

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