(Valor: 2,0 pontos) Calcule as seguintes integrais:
integral1 / raiz2^1 / 2 4raiz1-x^2 cdot d x

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede é calcular a integral definida
integral1/raiz2^1/2 4raiz1 - x^2,dx
Isso é conteúdo de cálculo de integrais definidas, especificamente a integral de .
O que a gente vai precisar:
  • Saber que
    .
  • Saber avaliar essa primitiva nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a primitiva (ou antiderivada) da função
integral 4raiz1 - x^2,dx = 4 integral dxraiz1 - x^2 = 4,arcsin(x) + C .
Como o 4 é constante, a gente pode sair com ele:

Passo 3

Agora que a gente já tem a primitiva integral1/raiz2^1/2 4raiz1 - x^2,dx = l[,4,arcsin(x)r]x = 1/raiz2^x = 1/2 = 4l(arcsin(1/2) - arcsin(1/raiz2)r) , é só aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 4

Agora, a gente lembra dos valores especiais de arcsin(1/2) = pi6, arcsin!l(1/raiz2r) = pi4 :
4l(tfracpi6 - tfracpi4r) = 4l(2pi - 3pi12r) = 4l(-pi12r) = -pi3
Substituindo:

Resposta

integral1/raiz2^1/2 4raiz1 - x^2,dx = -pi3

Exercícios relacionados