(Valor: 2,0 pontos) Calcule as seguintes integrais:
integral x^3+4 x^2x cdot d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral de uma fração polinomial:
Calcular
integral x^3 + 4x^2x,dx
Isso faz parte de “cálculo de integrais” e, mais especificamente, de integração de polinômios. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Simplificar a fração (dividir cada termo por );
  • Usar a linearidade da integral (separar soma e fator constante);
  • Aplicar a regra de potência: .

Passo 2

Primeiro, simplifica a fração dividindo termo a termo:
x^3 + 4x^2x = x^3x + 4x^2x = x^2 + 4x
Então nossa integral vira
integral (x^2 + 4x),dx

Passo 3

Usa a propriedade que diz
integrall(f(x) + g(x)r),dx = integral f(x),dx + integral g(x),dx e integral k,f(x),dx = k integral f(x),dx
Aplicando aqui,
integral (x^2 + 4x),dx = integral x^2,dx ;+; 4 integral x,dx

Passo 4

Agora a gente aplica a regra de potência para cada parte:
  • Para integral x^2,dx = x^2+12+1 = x^33 , temos integral x,dx = x^1+11+1 = x^22 , então 4 integral x,dx = 4 cdot x^22 = 2x^2
  • Para , , então
Multiplicando por 4 no segundo termo:

Passo 5

Agora é só somar os dois resultados e não esquecer da constante de integração integral (x^2 + 4x),dx = x^33 + 2x^2 + C :

Resposta

boxedx^33 + 2x^2 + C

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