Prove que \left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right|. quaisque: que sej’a os rímeros complexos z_{1} e z_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer números complexos z_{1} e z_{2},
\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right| \leq \left|z_{1}-z_{2}\right|.
Informações dadas:
  • z_{1} e z_{2} são números complexos arbitrários.
  • |w| denota o módulo (valor absoluto) do número complexo w.
    A seguir vamos demonstrar essa desigualdade passo a passo.

Passo 2

Lema útil (desigualdade triangular). Vou provar primeiro a desigualdade triangular para complexos: para quaisquer a,b\in\mathbb{C},
\left|a+b\right| \leq \left|a\right| + \left|b\right|.
Prova do lema, com detalhes bem mastigados:
  • Começo calculando o quadrado do módulo (isso elimina raízes e facilita manipulação):
\left|a+b\right|^{2} = (a+b)\overline{(a+b)} = (a+b)(\overline{a}+\overline{b}).
  • Expandindo o produto:
\left|a+b\right|^{2} = a\overline{a} + a\overline{b} + b\overline{a} + b\overline{b}.
  • Observando que a\overline{a}=|a|^{2} e b\overline{b}=|b|^{2}, e que a\overline{b}+b\overline{a}=2\operatorname{Re}(a\overline{b}), obtemos
\left|a+b\right|^{2} = |a|^{2} + 2\operatorname{Re}(a\overline{b}) + |b|^{2}.
  • Agora usamos a desigualdade básica entre parte real e módulo: para qualquer complexo w vale \operatorname{Re}(w)\le |w|. Aplicando com w=a\overline{b}
\operatorname{Re}(a\overline{b}) \le |a\overline{b}| = |a||b|.
  • Assim
\left|a+b\right|^{2} \le |a|^{2} + 2|a||b| + |b|^{2} = (|a|+|b|)^{2}.
  • Como ambos os lados são não negativos, tomando raiz quadrada obtemos a desigualdade triangular:
\left|a+b\right| \le |a| + |b|.
Esse é um resultado fundamental: o módulo (distância) do somatório não excede a soma dos módulos (distâncias).

Passo 3

Aplicação direta ao problema. Reescrevo z_{1} como soma:
z_{1} = (z_{1}-z_{2}) + z_{2}.
Agora aplico a desigualdade triangular com a=z_{1}-z_{2} e b=z_{2}:
\left|z_{1}\right| = \left|(z_{1}-z_{2}) + z_{2}\right| \le \left|z_{1}-z_{2}\right| + \left|z_{2}\right|.
Rearranjando os termos (subtraindo \left|z_{2}\right| em ambos os lados) obtém-se exatamente
\left|z_{1}\right| - \left|z_{2}\right| \le \left|z_{1}-z_{2}\right|.

Passo 4

Comentário adicional (útil na prova): trocando os papéis de z_{1} e z_{2} na mesma argumentação obtém-se
\left|z_{2}\right| - \left|z_{1}\right| \le \left|z_{1}-z_{2}\right|.
Juntando as duas desigualdades segue a forma mais forte
\bigl|\;|z_{1}|-|z_{2}|\;\bigr| \le \left|z_{1}-z_{2}\right|,
que é uma consequência direta da desigualdade triangular e que dá uma intuição geométrica: a diferença entre os comprimentos (módulos) é no máximo a distância entre os pontos correspondentes no plano complexo.

Resposta

\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right|

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