Prove que
. quaisque: que sej’a os rímeros complexos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer números complexos
e
,
Informações dadas:
-
e são números complexos arbitrários. -
denota o módulo (valor absoluto) do número complexo .
A seguir vamos demonstrar essa desigualdade passo a passo.
Passo 2
Lema útil (desigualdade triangular). Vou provar primeiro a desigualdade triangular para complexos: para quaisquer
,
Prova do lema, com detalhes bem mastigados:
- Começo calculando o quadrado do módulo (isso elimina raízes e facilita manipulação):
- Expandindo o produto:
- Observando que
e , e que , obtemos
- Agora usamos a desigualdade básica entre parte real e módulo: para qualquer complexo
vale . Aplicando com dá
- Assim
- Como ambos os lados são não negativos, tomando raiz quadrada obtemos a desigualdade triangular:
Esse é um resultado fundamental: o módulo (distância) do somatório não excede a soma dos módulos (distâncias).
Passo 3
Aplicação direta ao problema. Reescrevo
como soma:
Agora aplico a desigualdade triangular com
e
:
Rearranjando os termos (subtraindo
em ambos os lados) obtém-se exatamente
Passo 4
Comentário adicional (útil na prova): trocando os papéis de
e
na mesma argumentação obtém-se
Juntando as duas desigualdades segue a forma mais forte
que é uma consequência direta da desigualdade triangular e que dá uma intuição geométrica: a diferença entre os comprimentos (módulos) é no máximo a distância entre os pontos correspondentes no plano complexo.