Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados abaixo, quando se analisou o consumo de combustível de acordo com a velocidade média imposta ao veículo. Os testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego, numa distância de 72 km .
VELOCIDADE (km / h) 55 70 85 100 120 140
CONSUMO (km / L) 14,08 13,56 13,28 12,27 11,3 10,4
Pelo Método dos Mínimos Quadrados encontre uma função de aproximação por uma reta (utilize três casas decimais).

Passo 1

Então, cara, a gente tem uma tabelinha com velocidades (em km/h) e o consumo correspondente (km/L) de um carro testado em estrada. A ideia é achar a melhor reta que aproxima esses pontos usando o Método dos Mínimos Quadrados, que é um componente de Regressão Linear Simples. Para isso vamos precisar:
  1. Somar todas as velocidades ( sum x), todos os consumos ( sum y), o produto de cada par velocidade–consumo ( sum xy) e o quadrado de cada velocidade ( sum x^2).
  2. Aplicar as fórmulas do coeficiente angular (slope) a e do coeficiente linear (intercept) b da reta y = a,x + b,

Passo 2

Primeiro, juntando os dados:
x (velocidade): 55, 70, 85, 100, 120, 140
y (consumo): 14{,}08, 13{,}56, 13{,}28, 12{,}27, 11{,}30, 10{,}40
Calcula-se:
n = 6 (número de pontos)
sum x = 570
sum y = 74,89
sum x,y = 6,891,4
sum x^2 = 59,150

Passo 3

Agora a gente aplica a fórmula do coeficiente angular a:
a ;=; n,sum(xy);-;sum x ,sum y ,n,sum(x^2);-;(sum x)^2, ;=; 6cdot6891,4 ;-; 570cdot74,89 6cdot59150 ;-; 570^2 ;=; 41,348,4 ;-; 42,687,3 354,900 ;-; 324,900 ;=; -1,338,930,000 ;approx;-0,045,
Aqui a teoria: a mede a inclinação da reta. Se for negativo, o consumo cai com a velocidade.

Passo 4

Com a na mão, vem o coeficiente linear b, que é o ponto onde a reta cruza o eixo y:
b ;=; sum y ;-; a,sum xn ;=; 74,89 ;-;(-0,045)cdot5706 ;=; 74,89 + 25,4396 ;approx; 16,722,
Na teoria, b indica o consumo “inicial” quando x=0 (aqui é mais um valor de ajuste).

Passo 5

Pronto, a nossa reta de ajuste pelo Método dos Mínimos Quadrados fica:
hat y ;=;-0,045,x ;+;16,722,

Resposta

A função de aproximação é
boxedhat y(x) = -0,045,x + 16,722,

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