A velocidade vertical (m/s) de um foguete é dada por
\mathrm{v}(\mathrm{t})=\left\{\begin{array}{lr} 10 t^{2}-5 t & 0 \leq t \leq 10 \\\\ 1000-5 t & 10 \leq t \leq 20 \\\\ 45 t+2(t-20)^{2} & 20 \leq t \leq 30 \end{array}\right.
a) Calcule uma estimativa para a distância percorrida ao fim de 30s com base nos seguintes pontos:
0 5 10 12 14 16 18 20 22.5 25 27.5 30
b) Calcule uma estimativa do erro de truncamento cometido no cálculo da distância. Comente o resultado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, com as informações dadas abaixo:
  • Perguntas:
    1. Calcular uma estimativa para a distância percorrida ao fim de 30\\ \text{s} usando os pontos fornecidos.
    2. Calcular uma estimativa do erro de truncamento cometido nessa estimativa e comentar o resultado.
  • Informação fornecida: a velocidade vertical \mathrm{v}(\mathrm{t}) dada por partes:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=\left\{\begin{array}{lr} 10 t^{2}-5 t & 0 \leq t \leq 10,\\[4pt] 1000-5 t & 10 \leq t \leq 20,\\[4pt] 45 t+2(t-20)^{2} & 20 \leq t \leq 30, \end{array}\right.
e os pontos de amostragem de tempo:
0,\;5,\;10,\;12,\;14,\;16,\;18,\;20,\;22{,}5,\;25,\;27{,}5,\;30.]

Passo 2

O que vamos fazer (teoria breve e didática): a distância percorrida entre t=0 e t=30 é a integral
\text{distância}=\int_{0}^{30} v(t)\,dt.â
Como só temos valores de v em pontos discretos, vamos usar a regra do trapézio composta para intervalos possivelmente desiguais. Para cada subintervalo [t_i,t_{i+1}] com comprimento h_i=t_{i+1}-t_i, a contribuição pela regra do trapézio é
\text{contribuição}_i = h_i\cdot\frac{v(t_i)+v(t_{i+1})}{2}.çã
Somando todas as contribuições obtemos a estimativa da integral.
Erro de truncamento (teoria): o erro local da regra do trapézio em [t_i,t_{i+1}] pode ser escrito (existe \xi_i\in[t_i,t_{i+1}] tal que)
E_i = -\frac{v''(\xi_i)}{12}\,h_i^{3}.
Assim, uma cota absoluta para o erro total é
|E|\le \frac{M}{12}\sum_i h_i^{3},
onde M=\max_{t\in[0,30]}|v''(t)|. Vamos calcular essa cota (uma estimativa segura do erro).

Passo 3

Calcular v(t) em cada ponto (mostrando qual ramo foi usado):
  • Para 0\le t\le10, v(t)=10t^{2}-5t.
    • v(0)=10\cdot0^{2}-5\cdot0=0.
    • v(5)=10\cdot5^{2}-5\cdot5=10\cdot25-25=250-25=225.
    • v(10)=10\cdot10^{2}-5\cdot10=1000-50=950.
  • Para 10\le t\le20, v(t)=1000-5t.
    • v(12)=1000-5\cdot12=1000-60=940.
    • v(14)=1000-5\cdot14=1000-70=930.
    • v(16)=1000-5\cdot16=1000-80=920.
    • v(18)=1000-5\cdot18=1000-90=910.
    • v(20)=1000-5\cdot20=1000-100=900.
  • Para 20\le t\le30, v(t)=45t+2(t-20)^{2}.
    • v(22{,}5)=45\cdot22{,}5+2(2{,}5)^{2}=1012{,}5+12{,}5=1025.
    • v(25)=45\cdot25+2\cdot5^{2}=1125+50=1175.
    • v(27{,}5)=45\cdot27{,}5+2(7{,}5)^{2}=1237{,}5+112{,}5=1350.
    • v(30)=45\cdot30+2\cdot10^{2}=1350+200=1550.
Resumo dos valores usados (retomando os pontos do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccccccc} t\\ (\text{s}) & 0 & 5 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22{,}5 & 25 & 27{,}5 & 30\\hline v(t)\\ (\text{m/s}) & 0 & 225 & 950 & 940 & 930 & 920 & 910 & 900 & 1025 & 1175 & 1350 & 1550 \end{array}

Passo 4

Aplicar a regra do trapézio composta: calcule h_i e a contribuição de cada subintervalo h_i\cdot\frac{v_i+v_{i+1}}{2}.
  • Intervalos e h_i:
    \begin{array}{l} 0\to5: h=5,\\\\ 5\to10: h=5,\\\\ 10\to12: h=2,\\\\ 12\to14: h=2,\\\\ 14\to16: h=2,\\\\ 16\to18: h=2,\\\\ 18\to20: h=2,\\\\ 20\to22{,}5: h=2{,}5,\\\\ 22{,}5\to25: h=2{,}5,\\\\ 25\to27{,}5: h=2{,}5,\\\\ 27{,}5\to30: h=2{,}5. \end{array}
  • Cálculo das contribuições (mostrando aritmética):
    \begin{aligned} &5\cdot\frac{0+225}{2}=5\cdot112{,}5=562{,}5,\\\ &5\cdot\frac{225+950}{2}=5\cdot587{,}5=2937{,}5,\\\ &2\cdot\frac{950+940}{2}=2\cdot945=1890,\\\ &2\cdot\frac{940+930}{2}=2\cdot935=1870,\\\ &2\cdot\frac{930+920}{2}=2\cdot925=1850,\\\ &2\cdot\frac{920+910}{2}=2\cdot915=1830,\\\ &2\cdot\frac{910+900}{2}=2\cdot905=1810,\\\ &2{,}5\cdot\frac{900+1025}{2}=2{,}5\cdot962{,}5=2406{,}25,\\\ &2{,}5\cdot\frac{1025+1175}{2}=2{,}5\cdot1100=2750,\\\ &2{,}5\cdot\frac{1175+1350}{2}=2{,}5\cdot1262{,}5=3156{,}25,\\\ &2{,}5\cdot\frac{1350+1550}{2}=2{,}5\cdot1450=3625. \end{aligned}

Passo 5

Somar todas as contribuições para obter a distância estimada:
\begin{aligned} \text{distância estimada} &=562{,}5+2937{,}5+1890+1870+1850+1830+1810\\\ &\quad+2406{,}25+2750+3156{,}25+3625\\\ &=24687{,}5\\ \text{m}. \end{aligned}â
Portanto a estimativa pela regra do trapézio composta com os pontos dados é \,24687{,}5\\ \text{m}.

Passo 6

Agora a estimativa do erro de truncamento (cota superior) usando a fórmula com M=\max_{[0,30]}|v''(t)|.
Calcule v''(t) em cada ramo:
  • Para 0\le t\le10: v(t)=10t^{2}-5t \Rightarrow v''(t)=20.
  • Para 10\le t\le20: v(t)=1000-5t \Rightarrow v''(t)=0.
  • Para 20\le t\le30: v(t)=45t+2(t-20)^2 \Rightarrow v''(t)=4.
Logo
M=\max_{t\in[0,30]}|v''(t)|=\max\{20,0,4\}=20.

Passo 7

Calcular \sum_i h_i^{3} e aplicar a cota:
  • Cubos dos h_i: 5^{3}=125,\quad 5^{3}=125,\quad 2^{3}=8\\ (\text{cinco vezes}),\quad 2{,}5^{3}=15{,}625\\ (\text{quatro vezes}).
  • Soma: \sum_i h_i^{3}=125+125+5\cdot8+4\cdot15{,}625=250+40+62{,}5=352{,}5.
  • Cota de erro: |E|\le \frac{M}{12}\sum_i h_i^{3}=\frac{20}{12}\cdot352{,}5=\frac{5}{3}\cdot352{,}5=587{,}5\\ \text{m}.

Passo 8

Comentário sobre o resultado: a cota superior do erro de truncamento é 587{,}5\\ \text{m}. Em termos relativos isso é
\frac{587{,}5}{24687{,}5}\approx0{,}0238\approx2{,}38\%.
Ou seja, a estimativa pela regra do trapézio com os pontos fornecidos tem erro, segundo a cota usada, menor que cerca de 2{,}4\%. Essa é uma cota segura (pode ser conservadora), já que usamos o máximo de |v''| em todo o intervalo; o erro real pode ser menor. Bom trabalho — tá indo bem, esse tipo de estimação é exatamente o que pedem na prova.

Resposta

24687{,}5\\ \text{m}
587{,}5\\ \text{m}

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