(a)Utilizando o Método da Quadratura Gaussiana, estimar o valor da integral
, com 2 pontos
(b)Utilizando o Regra de Simpson, usando
determinar o valor da integral
.
(c) Compare as estimativas obtidas em (a) e (b) com o valor de A
(d) quantos pontos seriam necessários para que a Regra do trapézio obtivesse a mesma precisao que a estimativa obtida em (b)?
(b)Utilizando o Regra de Simpson, usando
(c) Compare as estimativas obtidas em (a) e (b) com o valor de A
(d) quantos pontos seriam necessários para que a Regra do trapézio obtivesse a mesma precisao que a estimativa obtida em (b)?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
- Queremos estimar a integral
- (a) Usar a Quadratura de Gauss com 2 pontos para estimar
. - (b) Usar a Regra de Simpson composta com passo
para estimar . - (c) Comparar as estimativas obtidas em (a) e (b) com o valor exato de
. - (d) Determinar quantos pontos seriam necessários para que a Regra do Trapézio (composta) alcançasse a mesma precisão da estimativa obtida em (b).
Dados numéricos fornecidos:
,
,
, em (b)
.
A resolução começa agora.
A resolução começa agora.
Passo 2
Método da Quadratura Gaussiana com 2 pontos — explicação e mapeamento do intervalo:
- A quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos usa, no intervalo padrão
, os nós e pesos
- Para aplicar em
fazemos a mudança linear
Aqui
e
. Então os nós em
são
- A fórmula da quadratura (2 pontos) transformada para
é
onde
e
.
Passo 3
Cálculo explícito da quadratura de Gauss (detalhado, contando as contas):
- Definimos
. Observação útil:
- Então os nós são
e . Note que
- A soma das avaliações é
- Logo a aproximação de Gauss é
Arredondando convenientemente:
Passo 4
Regra de Simpson composta com
— explicação e fórmula:
- Composto de Simpson para
subintervalos ( deve ser par ) e passo é
onde
,
,
.
- Aqui
e implicam (par, ok). Os pontos são
Passo 5
Cálculo explícito da Regra de Simpson (passo a passo das contas):
- Avaliamos
nos nós (uso frações exatas quando possível):
- Aplicando a fórmula de Simpson composta com
:
- Calculando a soma ponderada (mostro os termos):
Somando:
Multiplicando por
:
Passo 6
Valor exato da integral e comparação numérica — ensinando a fórmula primitiva:
- A primitiva de
é . Portanto o valor exato é
- Valor numérico (logaritmo natural de
):
Passo 7
Erros das aproximações e comparação direta (números e interpretação amigável):
- Erro da Gauss 2-pontos:
(erro absoluto
.)
- Erro da Simpson:
(erro absoluto
.)
- Conclusão prática: a Regra de Simpson com
foi mais precisa aqui — o erro absoluto da Simpson é cerca de 10 vezes menor que o erro da Gauss-2 (Simpson ganhou por uma ordem de grandeza).
Passo 8
Quantos pontos o Trapézio precisaria para essa precisão? (explicação didática do estimador de erro)
- Fórmula de erro do Trapézio composto (usada em provas e estimativas): para
subintervalos de tamanho existe tal que
Para obter um limite seguro, usamos a máxima magnitude de
no intervalo:
. Então um limite para o erro absoluto é
porque
.
- Para
temos . No intervalo o máximo ocorre em , então
- Queremos que
seja menor ou igual ao erro absoluto da Simpson, que é aproximadamente . - Usando a desigualdade:
Substituindo
e
obtemos (notar que
, cálculo mostrado abaixo):
Rearranjando para
:
- Substituindo
:
Portanto precisamos de pelo menos
subintervalos (
tem de ser inteiro).
O número de pontos (nós) usados pela regra composta é , logo são
pontos.
O número de pontos (nós) usados pela regra composta é
Resposta
(a)
(b)
(c) Valor exato . Erros: Gauss(2)
, Simpson
. Simpson é mais preciso (erro ~10× menor).
(d) Para a Regra do Trapézio atingir essa precisão estima-se subintervalos, ou seja
pontos.
(b)
(c) Valor exato
(d) Para a Regra do Trapézio atingir essa precisão estima-se