(a)Utilizando o Método da Quadratura Gaussiana, estimar o valor da integral A=\int_{3,0}^{3,6} \frac{1}{x} d x, com 2 pontos
(b)Utilizando o Regra de Simpson, usando \mathrm{h}=0.15 determinar o valor da integral A=\int_{3,0}^{3,6} \frac{1}{x} d x.
(c) Compare as estimativas obtidas em (a) e (b) com o valor de A
(d) quantos pontos seriam necessários para que a Regra do trapézio obtivesse a mesma precisao que a estimativa obtida em (b)?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
  • Queremos estimar a integral
A=\int_{3,0}^{3,6}\frac{1}{x}\,dx.
  • (a) Usar a Quadratura de Gauss com 2 pontos para estimar A.
  • (b) Usar a Regra de Simpson composta com passo h=0,15 para estimar A.
  • (c) Comparar as estimativas obtidas em (a) e (b) com o valor exato de A.
  • (d) Determinar quantos pontos seriam necessários para que a Regra do Trapézio (composta) alcançasse a mesma precisão da estimativa obtida em (b).
Dados numéricos fornecidos: a=3,0, b=3,6, b-a=0,6, em (b) h=0,15.
A resolução começa agora.

Passo 2

Método da Quadratura Gaussiana com 2 pontos — explicação e mapeamento do intervalo:
  • A quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos usa, no intervalo padrão [-1,1], os nós e pesos
t_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad w_{1}=w_{2}=1.
  • Para aplicar em [a,b] fazemos a mudança linear
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t.
Aqui \frac{a+b}{2}=\frac{3,0+3,6}{2}=3,3 e \frac{b-a}{2}=0,3. Então os nós em x são
x_{1}=3,3-0,3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad x_{2}=3,3+0,3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • A fórmula da quadratura (2 pontos) transformada para [a,b] é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{2} w_i\,f(x_i),
onde \frac{b-a}{2}=0,3 e w_i=1.

Passo 3

Cálculo explícito da quadratura de Gauss (detalhado, contando as contas):
  • Definimos d=0,3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{0,3}{\sqrt{3}}. Observação útil:
d^2=\left(\frac{0,3}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{0,09}{3}=0,03.
  • Então os nós são x_1=3,3-d e x_2=3,3+d. Note que
x_1+x_2=6,6,\qquad x_1x_2=(3,3-d)(3,3+d)=3,3^2-d^2=10,89-0,03=10,86.
  • A soma das avaliações é
\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{6,6}{10,86}=\frac{110}{181}\approx 0,6077348066.
  • Logo a aproximação de Gauss é
A_{\text{Gauss(2)}}\approx 0,3\cdot\left(\frac{110}{181}\right)\approx 0,18232044198.
Arredondando convenientemente:
A_{\text{Gauss(2)}}\approx 0,182320442.

Passo 4

Regra de Simpson composta com h=0,15 — explicação e fórmula:
  • Composto de Simpson para n subintervalos ( n deve ser par ) e passo h é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)+2\sum_{\text{pares interior}} f(x_i)+f(x_n)\right],í
onde x_0=a, x_n=b, h=(b-a)/n.
  • Aqui b-a=0,6 e h=0,15 implicam n=\dfrac{0,6}{0,15}=4 (par, ok). Os pontos são
x_0=3,0,\; x_1=3,15,\; x_2=3,30,\; x_3=3,45,\; x_4=3,60.

Passo 5

Cálculo explícito da Regra de Simpson (passo a passo das contas):
  • Avaliamos f(x)=1/x nos nós (uso frações exatas quando possível):
f(x_0)=\frac{1}{3,0}=\frac{1}{3}\approx 0,3333333333,
f(x_1)=\frac{1}{3,15}=\frac{20}{63}\approx 0,3174603175,
f(x_2)=\frac{1}{3,30}=\frac{10}{33}\approx 0,3030303030,
f(x_3)=\frac{1}{3,45}=\frac{20}{69}\approx 0,2898550725,
f(x_4)=\frac{1}{3,60}=\frac{5}{18}\approx 0,2777777778.
  • Aplicando a fórmula de Simpson composta com h/3=0,15/3=0,05:
A_{\text{Simpson}}=\;0,05\Big[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\Big].
  • Calculando a soma ponderada (mostro os termos):
f(x_0)=0,3333333333,
4f(x_1)=1,2698412698,\quad 2f(x_2)=0,6060606061,\quad 4f(x_3)=1,1594202899,
f(x_4)=0,2777777778.
Somando:
\text{soma}=3,6464332769.
Multiplicando por 0,05:
A_{\text{Simpson}}\approx 0,182321663843403.

Passo 6

Valor exato da integral e comparação numérica — ensinando a fórmula primitiva:
  • A primitiva de f(x)=\frac{1}{x} é \ln x. Portanto o valor exato é
A=\int_{3,0}^{3,6}\frac{1}{x}\,dx=\ln(3,6)-\ln(3,0)=\ln\!\left(\frac{3,6}{3,0}\right)=\ln(1,2).
  • Valor numérico (logaritmo natural de 1,2):
A=\ln(1,2)\approx 0,182321556793955.

Passo 7

Erros das aproximações e comparação direta (números e interpretação amigável):
  • Erro da Gauss 2-pontos:
\text{erro}_{\text{Gauss}}=A_{\text{Gauss(2)}}-A\approx 0,182320442-0,182321556793955\approx -1{,}1148\times10^{-6}.
(erro absoluto \approx 1{,}11\times10^{-6}.)
  • Erro da Simpson:
\text{erro}_{\text{Simpson}}=A_{\text{Simpson}}-A\approx 0,182321663843403-0,182321556793955\approx 1{,}0705\times10^{-7}.
(erro absoluto \approx 1{,}07\times10^{-7}.)
  • Conclusão prática: a Regra de Simpson com h=0,15 foi mais precisa aqui — o erro absoluto da Simpson é cerca de 10 vezes menor que o erro da Gauss-2 (Simpson ganhou por uma ordem de grandeza).

Passo 8

Quantos pontos o Trapézio precisaria para essa precisão? (explicação didática do estimador de erro)
  • Fórmula de erro do Trapézio composto (usada em provas e estimativas): para n subintervalos de tamanho h=(b-a)/n existe \xi tal que
E_T = -\frac{(b-a)}{12}\,h^2\,f''(\xi).
Para obter um limite seguro, usamos a máxima magnitude de f'' no intervalo: M=\max_{[a,b]}|f''(x)|. Então um limite para o erro absoluto é
|E_T|\le \frac{(b-a)}{12}\,h^2\,M=\frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,M,
porque h=(b-a)/n.
  • Para f(x)=1/x temos f''(x)=\dfrac{2}{x^3}. No intervalo [3,0,3,6] o máximo ocorre em x=3,0, então
M=\frac{2}{3,0^3}=\frac{2}{27}\approx 0,07407407407.
  • Queremos que |E_T| seja menor ou igual ao erro absoluto da Simpson, que é aproximadamente E_{\text{target}}=1{,}0705\times10^{-7}.
  • Usando a desigualdade:
\frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,M \le E_{\text{target}}.
Substituindo (b-a)=0,6 e M=2/27 obtemos (notar que 0,6^3\cdot \frac{2}{27}=0,016, cálculo mostrado abaixo):
\frac{0,6^3\cdot(2/27)}{12\,n^2}=\frac{0,016}{12\,n^2}=\frac{0,016}{12\,n^2}.
Rearranjando para n:
n^2 \ge \frac{0,016}{12\,E_{\text{target}}} \quad\Rightarrow\quad n \ge \sqrt{\frac{0,016}{12\,E_{\text{target}}}}.
  • Substituindo E_{\text{target}}\approx 1{,}0705\times10^{-7}:
n \ge \sqrt{\frac{0,016}{12\cdot 1{,}0705\times10^{-7}}}\approx \sqrt{12457{,}9}\approx 111{,}71.
Portanto precisamos de pelo menos n=112 subintervalos ( n tem de ser inteiro).
O número de pontos (nós) usados pela regra composta é n+1, logo são 112+1=113 pontos.

Resposta

(a) A_{\text{Gauss(2)}}\approx 0,182320442
(b) A_{\text{Simpson},\,h=0,15}\approx 0,182321663843403
(c) Valor exato A=\ln(1,2)\approx 0,182321556793955. Erros: Gauss(2) \approx -1{,}11\times10^{-6}, Simpson \approx 1{,}07\times10^{-7}. Simpson é mais preciso (erro ~10× menor).
(d) Para a Regra do Trapézio atingir essa precisão estima-se n=112 subintervalos, ou seja 113 pontos.

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