Um carro de corrida demora 79 segundos para percorrer uma pista. A velocidade do carro ( em m/seg) é determinada através de um radar e é apresentada desde o início da volta na seguinte tabela;
Tempo 0 0.5 1 1.5 48 48.5 49 59 69 79
Velocidade 62 74 73.5 60.5 49.5 42.5 39 44.5 58 61.5
Qual o comprimento da pista?

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento da pista, ou seja, a distância total percorrida pelo carro durante uma volta inteira de \,79 segundos.
As informações dadas (extraídas da tabela do enunciado) são pares tempo–velocidade medidos pelo radar:
(0,\,62), (0,5,\,74), (1,\,73,5), (1,5,\,60,5), (48,\,49,5), (48,5,\,42,5), (49,\,39), (59,\,44,5), (69,\,58), (79,\,61,5).
Todas as velocidades estão em \,\text{m/s} e os tempos em \,\text{s}. O objetivo é aproximar a integral
\int_{0}^{79} v(t)\,dt
usando apenas esses valores medidos, obtendo a distância total em metros.

Passo 2

Escolhemos um método numérico simples e confiável para integrar dados tabulados: a regra do trapézio (trapezoidal rule). Vou te explicar o que é e por que usar.
A regra do trapézio aproxima a área sob a curva v(t) em cada subintervalo [t_i,t_{i+1}] por um trapézio cuja altura é (t_{i+1}-t_i) e cujas bases são as velocidades v(t_i) e v(t_{i+1}). Isso é natural quando só temos medidas nos instantes discretos; é um método básico, fácil de aplicar e suficiente aqui.
A fórmula do trapézio para um único subintervalo é:
\text{Área no subintervalo }[t_i,t_{i+1}] = \frac{v(t_i)+v(t_{i+1})}{2}\cdot (t_{i+1}-t_i).Á
Nesta fórmula: v(t_i) e v(t_{i+1}) são as velocidades nos tempos t_i e t_{i+1}, e (t_{i+1}-t_i) é a largura do intervalo em segundos. O produto tem unidade \text{m/s}\times\text{s}=\text{m}, que é distância.

Passo 3

Agora vamos aplicar a regra do trapézio a cada intervalo consecutivo da tabela. Vou calcular a área (distância) em cada intervalo e depois somar todas para obter a distância total. Para ficar claro, cada conta será mostrada.
Intervalo 1: de (t_0,v_0)=(0,\,62) a (t_1,v_1)=(0,5,\,74).
\Delta t = 0,5-0 = 0,5
\text{média das velocidades} = \frac{62+74}{2}=68é
\text{área}_1 = 68\cdot 0,5 = 34á

Passo 4

Intervalo 2: de (0,5,\,74) a (1,\,73,5).
\Delta t = 1-0,5 = 0,5
\text{média} = \frac{74+73,5}{2}=73,75é
\text{área}_2 = 73,75\cdot 0,5 = 36,875á
Intervalo 3: de (1,\,73,5) a (1,5,\,60,5).
\Delta t = 1,5-1 = 0,5
\text{média} = \frac{73,5+60,5}{2}=67é
\text{área}_3 = 67\cdot 0,5 = 33,5á

Passo 5

Intervalo 4: de (1,5,\,60,5) a (48,\,49,5). (Aqui temos um grande salto de tempo; mesmo assim aplicamos a fórmula com os dois valores extremos do intervalo.)
\Delta t = 48-1,5 = 46,5
\text{média} = \frac{60,5+49,5}{2}=55é
\text{área}_4 = 55\cdot 46,5 = 2557,5á

Passo 6

Intervalo 5: de (48,\,49,5) a (48,5,\,42,5).
\Delta t = 48,5-48 = 0,5
\text{média} = \frac{49,5+42,5}{2}=46é
\text{área}_5 = 46\cdot 0,5 = 23á
Intervalo 6: de (48,5,\,42,5) a (49,\,39).
\Delta t = 49-48,5 = 0,5
\text{média} = \frac{42,5+39}{2}=40,75é
\text{área}_6 = 40,75\cdot 0,5 = 20,375á

Passo 7

Intervalo 7: de (49,\,39) a (59,\,44,5).
\Delta t = 59-49 = 10
\text{média} = \frac{39+44,5}{2}=41,75é
\text{área}_7 = 41,75\cdot 10 = 417,5á
Intervalo 8: de (59,\,44,5) a (69,\,58).
\Delta t = 69-59 = 10
\text{média} = \frac{44,5+58}{2}=51,25é
\text{área}_8 = 51,25\cdot 10 = 512,5á
Intervalo 9: de (69,\,58) a (79,\,61,5).
\Delta t = 79-69 = 10
\text{média} = \frac{58+61,5}{2}=59,75é
\text{área}_9 = 59,75\cdot 10 = 597,5á

Passo 8

Agora somamos todas as áreas (distâncias parciais) para obter a distância total percorrida na volta:
\begin{aligned} \text{distância total} &= \text{área}_1+\text{área}_2+\text{área}_3+\text{área}_4+\text{área}_5+\text{área}_6+\text{área}_7+\text{área}_8+\text{área}_9\\\ &= 34+36,875+33,5+2557,5+23+20,375+417,5+512,5+597,5 \end{aligned}âááááááááá
Vamos somar passo a passo:
34+36,875=70,875
70,875+33,5=104,375
104,375+2557,5=2661,875
2661,875+23=2684,875
2684,875+20,375=2705,25
2705,25+417,5=3122,75
3122,75+512,5=3635,25
3635,25+597,5=4232,75

Passo 9

Interpretação: o resultado \,4232,75 é a distância aproximada em metros percorrida pelo carro durante os \,79 segundos. Usamos a regra do trapézio com os pontos dados; o valor é uma aproximação porque não conhecemos v(t) entre as medições, mas é o procedimento padrão com dados discretos.

Resposta

4232,75\\ \text{m}

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