Um carro de corrida demora 79 segundos para percorrer uma pista. A velocidade do carro ( em m/seg) é determinada através de um radar e é apresentada desde o início da volta na seguinte tabela;
Tempo
0
0.5
1
1.5
48
48.5
49
59
69
79
Velocidade
62
74
73.5
60.5
49.5
42.5
39
44.5
58
61.5
Qual o comprimento da pista?
| Tempo | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 48 | 48.5 | 49 | 59 | 69 | 79 |
| Velocidade | 62 | 74 | 73.5 | 60.5 | 49.5 | 42.5 | 39 | 44.5 | 58 | 61.5 |
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento da pista, ou seja, a distância total percorrida pelo carro durante uma volta inteira de
segundos.
As informações dadas (extraídas da tabela do enunciado) são pares tempo–velocidade medidos pelo radar:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Todas as velocidades estão em e os tempos em
. O objetivo é aproximar a integral
As informações dadas (extraídas da tabela do enunciado) são pares tempo–velocidade medidos pelo radar:
Todas as velocidades estão em
usando apenas esses valores medidos, obtendo a distância total em metros.
Passo 2
Escolhemos um método numérico simples e confiável para integrar dados tabulados: a regra do trapézio (trapezoidal rule). Vou te explicar o que é e por que usar.
A regra do trapézio aproxima a área sob a curva em cada subintervalo
por um trapézio cuja altura é
e cujas bases são as velocidades
e
. Isso é natural quando só temos medidas nos instantes discretos; é um método básico, fácil de aplicar e suficiente aqui.
A regra do trapézio aproxima a área sob a curva
A fórmula do trapézio para um único subintervalo é:
Nesta fórmula:
e
são as velocidades nos tempos
e
, e
é a largura do intervalo em segundos. O produto tem unidade
, que é distância.
Passo 3
Agora vamos aplicar a regra do trapézio a cada intervalo consecutivo da tabela. Vou calcular a área (distância) em cada intervalo e depois somar todas para obter a distância total. Para ficar claro, cada conta será mostrada.
Intervalo 1: de
a
.
Passo 4
Intervalo 2: de
a
.
Intervalo 3: de
a
.
Passo 5
Intervalo 4: de
a
. (Aqui temos um grande salto de tempo; mesmo assim aplicamos a fórmula com os dois valores extremos do intervalo.)
Passo 6
Intervalo 5: de
a
.
Intervalo 6: de
a
.
Passo 7
Intervalo 7: de
a
.
Intervalo 8: de
a
.
Intervalo 9: de
a
.
Passo 8
Agora somamos todas as áreas (distâncias parciais) para obter a distância total percorrida na volta:
Vamos somar passo a passo:
Passo 9
Interpretação: o resultado
é a distância aproximada em metros percorrida pelo carro durante os
segundos. Usamos a regra do trapézio com os pontos dados; o valor é uma aproximação porque não conhecemos
entre as medições, mas é o procedimento padrão com dados discretos.