Verdadeiro ou Falso (10 pontos)
Indique se as seguintes afirmações são Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
3. ( ) Arredondamento para o número mais próximo sempre reduz o erro numérico.

Passo 1

Beleza, aqui a questão é de Verdadeiro ou Falso sobre arredondamento e erro numérico. A matéria envolve representação de números em ponto flutuante (ou qualquer malha de números) e como a gente mede erro: normalmente usamos o erro absoluto
e = |xverdadeiro - xaproximado|
Para resolver, vamos precisar saber o que significa “arredondar para o número mais próximo” e analisar se isso sempre deixa o erro absoluto menor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é arredondar para o número mais próximo. Suponha que você tenha um conjunto de números “representáveis” (por exemplo, múltiplos de 0,1: 0,0; 0,1; 0,2; …). Dado um valor real , arredondar para o mais próximo significa escolher aquele representável que minimiza . Até aqui, esse é o método que minimiza o erro de representação a partir do real.

Passo 3

Porém, a afirmação fala de “reduzir o erro numérico”, ou seja, imagina que você já tem uma aproximação eantes = |x - tilde x| de um valor verdadeiro edepois = |x - hat x| , com erro
Aí você arredonda para um valor na malha, sofrendo um novo erro
A pergunta é: sempre ?

Passo 4

Basta um contraexemplo:
  • Seja eantes = |1,95 - 1,93| = 0,02 .
  • Suponha que sua aproximação seja |1,93 - 1,9| = 0,03 < |1,93 - 2,0| = 0,07 . Aí o erro inicial é edepois = |1,95 - 1,9| = 0,05,
  • Agora arredonda para a malha de 0,1 (isto é, ). O número mais próximo de 1,93 é 1,9, porque
  • O erro depois do arredondamento é
que é maior que 0,02. Ou seja, o erro aumentou.

Resposta

F (Falso)

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