Verdadeiro ou Falso (10 pontos)
Indique se as seguintes afirmações são Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
4. (
) O Método da Bissecção sempre converge para uma raiz em intervalos onde a função muda de sinal.
Indique se as seguintes afirmações são Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
4. (
Passo 1
Então, a questão é um Verdadeiro ou Falso sobre o Método da Bissecção: “O Método da Bissecção sempre converge para uma raiz em intervalos onde a função muda de sinal.” Isso envolve conteúdo de Métodos Numéricos, mais precisamente o Teorema do Valor Intermediário e o algoritmo de Bissecção. Para responder direitinho, vamos precisar lembrar quais condições garantem a convergência da bissecção.
Passo 2
Primeiro, o Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz que, se uma função
é contínua num intervalo
e
, então existe pelo menos uma raiz
tal que
. A continuidade é essencial aqui: sem ela, não dá para garantir que a função “passe” de um valor positivo a um negativo sem “pular” pelo caminho.
Passo 3
O Método da Bissecção usa justamente esse TVI. A cada iteração, você divide o intervalo ao meio, calcula
do ponto médio e escolhe o subintervalo onde o sinal mudou. Graças à continuidade e ao TVI, esse intervalo sempre contém uma raiz, e seu tamanho vai diminuindo em torno dela. Com sucesso, a sequência de pontos médios converge para uma raiz.
Passo 4
O enunciado, porém, diz “sempre converge em intervalos onde a função muda de sinal” e não menciona que a função deve ser contínua. Se a função não for contínua, pode haver mudança de sinal por um salto, sem existir raiz dentro do intervalo. A bissecção depende exatamente da continuidade para ter garantia de convergência.
Resposta
F (Falso)