Verificar, utilizando o teorema do Raio Espectral, se os sistemas abaixo podem ser resolvidos pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel e qual dos métodos a convergência é mais rápida:
\left[\begin{array}{ccc}0,5 & 0,6 & 0,3 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0,4 & -0,4 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0,2 \\\\ 0 \\\\ -0,6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{pmatrix} 0,5 & 0,6 & 0,3\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 0,4 & -0,4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[3pt]x_2\\[3pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,2\\[3pt]0\\[3pt]-0,6\end{pmatrix}.
O que nos pedem:
  • Verificar, usando o Teorema do Raio Espectral, se o sistema pode ser resolvido pelo método de Jacobi.
  • Verificar, usando o mesmo teorema, se o sistema pode ser resolvido pelo método de Gauss–Seidel.
  • Dizer qual dos dois métodos (quando ambos convergirem) tem convergência mais rápida.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar: a matriz A (a que aparece no sistema) e o vetor do lado direito. Não há outras figuras ou dados ausentes.]

Passo 2

Breve aula: Teorema do Raio Espectral (forma prática para métodos iterativos)
  • Para um método iterativo linear com matriz de iteração B (por exemplo o Jacobi ou o Gauss–Seidel), a condição necessária e suficiente para convergência do método (para qualquer termo inicial e para a solução do sistema) é
\rho(B)<1,
onde \rho(B) é o raio espectral de B, definido como o máximo dos módulos (valores absolutos) dos autovalores de B.
  • Intuição: se \rho(B)<1, os erros são multiplicados por algo com módulo menor que 1 a cada iteração e vão para zero geometricamente; quanto menor \rho(B), mais rápido decresce o erro (em média), por isso comparamos \rho para dizer qual método é mais rápido.
Então, nosso procedimento prático:
  1. Construir as matrizes de iteração B_J (Jacobi) e B_{GS} (Gauss–Seidel).
  2. Calcular os autovalores de cada B e o respectivo \rho.
  3. Concluir sobre convergência e velocidade comparando os \rho.

Passo 3

Fazer a decomposição A = D + L + U (padrão usado para Jacobi/Gauss–Seidel), onde D é a diagonal, L é a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior.
Da matriz A temos
A=\begin{pmatrix} 0,5 & 0,6 & 0,3\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 0,4 & -0,4 & 1 \end{pmatrix}.
Então
D=\begin{pmatrix}0,5 & 0 & 0\\[3pt]0 & 1 & 0\\[3pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[3pt]1 & 0 & 0\\[3pt]0,4 & -0,4 & 0\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}0 & 0,6 & 0,3\\[3pt]0 & 0 & 1\\[3pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz de iteração de Jacobi: \displaystyle B_J=-D^{-1}(L+U).
Calcule D^{-1} (como D é diagonal):
D^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[3pt]0 & 1 & 0\\[3pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Somando L+U:
L+U=\begin{pmatrix} 0 & 0,6 & 0,3\\[3pt] 1 & 0 & 1\\[3pt] 0,4 & -0,4 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplicando D^{-1}(L+U) (multiplica cada linha i pelo inverso do elemento diagonal D_{ii}):
D^{-1}(L+U)=\begin{pmatrix} 0 & 1,2 & 0,6\\[3pt] 1 & 0 & 1\\[3pt] 0,4 & -0,4 & 0 \end{pmatrix}.
Portanto
B_J=-D^{-1}(L+U)=\begin{pmatrix} 0 & -1,2 & -0,6\\[3pt] -1 & 0 & -1\\[3pt] -0,4 & 0,4 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular os autovalores de B_J (procedimento passo a passo).
Formamos o polinômio característico \det(B_J-\lambda I)=0. Escrevendo B_J-\lambda I:
\begin{pmatrix} -\lambda & -1,2 & -0,6\\[3pt] -1 & -\lambda & -1\\[3pt] -0,4 & 0,4 & -\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo o determinante (desenvolvimento pela primeira linha) obtemos, após contas algébricas detalhadas,
o polinômio
-\lambda^3 + 1,04\lambda - 0,24 = 0,
ou seja
\lambda^3 - 1,04\lambda + 0,24 = 0.
Esse é um cúbico. Encontramos uma raiz real numericamente por iteração (Newton) e depois fatoramos; o cálculo aproximado dá as raízes
\lambda_1 \approx 0,875,\qquad \lambda_2 \approx 0,245,\qquad \lambda_3 \approx -1,12.
(Detalhe do cálculo: uma raiz foi obtida num valor aproximado \lambda\approx 0,875; dividindo o polinômio por (\lambda-0,875) obtém-se o quadrático restante que gera as outras duas raízes indicadas.)
Portanto o raio espectral de B_J é
\rho(B_J)=\max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|,|\lambda_3|\}\approx 1,12.
Como \rho(B_J)>1, o método de Jacobi NÃO converge para este sistema (o erro não tende a zero).]

Passo 6

Matriz de iteração de Gauss–Seidel: \displaystyle B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Como (D+L) é triangular inferior, é prático calcular B_{GS} coluna a coluna resolvendo (D+L)x_j=-u_j em que u_j é a j-ésima coluna de U.
As colunas de U são
u_1=\begin{pmatrix}0\\[3pt]0\\[3pt]0\end{pmatrix},\quad u_2=\begin{pmatrix}0,6\\[3pt]0\\[3pt]0\end{pmatrix},\quad u_3=\begin{pmatrix}0,3\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Resolvendo (D+L)x_1=-u_1 x_1=0 (coluna zero).
Resolvendo (D+L)x_2=-u_2 obtemos, passo a passo pelas equações em substituição progressiva:
  • 0,5 x_{2,1}=-0,6 \Rightarrow x_{2,1}=-1,2.
  • 1\cdot x_{2,1}+1\cdot x_{2,2}=0 \Rightarrow x_{2,2}=1,2.
  • 0,4 x_{2,1}-0,4 x_{2,2}+1\cdot x_{2,3}=0 \Rightarrow x_{2,3}=0,96.
    Resolvendo (D+L)x_3=-u_3:
  • 0,5 x_{3,1}=-0,3 \Rightarrow x_{3,1}=-0,6.
  • x_{3,1}+x_{3,2}=-1 \Rightarrow x_{3,2}=-0,4.
  • 0,4 x_{3,1}-0,4 x_{3,2}+x_{3,3}=0 \Rightarrow x_{3,3}=0,08.
Logo
B_{GS}=\begin{pmatrix} 0 & -1,2 & -0,6\\[3pt] 0 & 1,2 & -0,4\\[3pt] 0 & 0,96 & 0,08 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular os autovalores de B_{GS} e o seu raio espectral.
Observe que B_{GS}-\lambda I tem forma triangular em bloco (zeros na coluna 1 abaixo da primeira linha), então o determinante se separa facilmente. O polinômio característico resulta em
-\lambda\big(\lambda^2 -1,28\lambda +0,48\big)=0.
Assim um autovalor é \lambda=0. Os outros dois são as raízes do quadrático
\lambda^2 -1,28\lambda +0,48=0.
Resolvendo:
\lambda=\frac{1,28\pm\sqrt{1,28^2-4\cdot0,48}}{2}=\frac{1,28\pm\sqrt{-0,2816}}{2} =0,64\pm 0,2653\,\mathrm{i}.
São um par complexo conjugado. O módulo desses complexos é
\sqrt{0,64^2+0,2653^2}=\sqrt{0,48}\approx 0,6928.
Portanto
\rho(B_{GS})=\max\{0,\,0,6928\} \approx 0,6928 < 1.
Como \rho(B_{GS})<1, o método de Gauss–Seidel converge para este sistema. Além disso, como 0,6928<1,12 (o valor do raio espectral de Jacobi), quando comparável, Gauss–Seidel tem convergência muito mais rápida (erro decai geometricamente com razão aproximadamente 0,6928 por iteração, enquanto Jacobi diverge aqui).

Passo 8

Interpretação final e incentivo:
  • Jacobi: \rho(B_J)\approx 1,12>1 → não converge.
  • Gauss–Seidel: \rho(B_{GS})\approx 0,6928<1 → converge, e como seu raio espectral é menor que 1 e menor que o de Jacobi, é o método com convergência mais rápida para este sistema.
    Força aí — se quiser eu mostro como executar algumas iterações de Gauss–Seidel passo a passo e estimar o número de iterações necessárias para chegar a um erro desejado.

Resposta

Jacobi: não converge ( \rho(B_J)\approx 1,12).
Gauss–Seidel: converge ( \rho(B_{GS})\approx 0,6928); Gauss–Seidel é mais rápido.

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